Codeforces 396B：On Sum of Fractions
题目链接：http://codeforces.com/problemset/problem/396/B
题目大意：共$t$组数据，每组给出一个数$n$，求$sum_{i=2}^n{frac{1}{v(i) imes u(i)}}$。其中$v(i)$为不大于$i$的最大质数，$u(i)$为大于$i$的最小质数。
数学
设$p_k$为第$k$个质数，数列$a_i=frac{1}{v(i) imes u(i)}$，
可以发现当$p_k leqslant i leqslant p_{k+1}$时，$a_i$的值均相同;
将这些相同的项合并，形成一个新的数列$b_i=frac{p_{i+1}-p_i}{p_i imes p_{i+1}}$.
若我们快速求得$S_n=sum_{i=1}^nb_i$，那么题目所要求的的值也就可以快速得到.
打表得到$S_n$的前几项：
$S_1=frac{1}{2 imes 3},S_2=frac{3}{2 imes 5},S_3=frac{5}{2 imes 7},S_4=frac{9}{2 imes 11},S_5=frac{11}{2 imes 13}$
猜想$S_i=frac{p_{i+1}-2}{2 imes p_{i+1}}$.
设$S_k=frac{p_{k+1}-2}{2 imes p_{k+1}}$，则
$$
egin{align}
S_{k+1}
&=S_k+b_{k+1}\
&=frac{p_{k+1}-2}{2 imes p_{k+1}}+frac{p_{k+2} - p_{k+1}}{p_{k+1} imes p_{k+2}}\
&=frac{p_{k+2} imes (p_{k+1}-2)+2 imes (p_{k+2}-p_{k+1})}{2 imes p_{k+1} imes p_{k+2}}\
&=frac{p_{k+1} imes (p_{k+2}-2)}{2 imes p_{k+1} imes p_{k+2}}\
&=frac{p_{k+2}-2}{2 imes p_{k+2}}\
end{align}
$$
故猜想正确.（亦可以从$b_i=frac{p_{i+1}-p_i}{p_i imes p_{i+1}}=frac{1}{p_i}-frac{1}{p_{i+1}}$得到）
而题目所要求的$sum_{i=2}^nfrac{1}{v(i) imes u(i)}$，即为$S_k-frac{u-1-n}{v(i) imes u(i)}$，其中$u$为第$k$个质数。
代码如下：
1 #include <iostream> 2 using namespace std; 3 typedef long long ll; 4 ll T,n,v,u; 5 bool prime(ll n){ 6 for(ll i=2;i*i<=n;++i) 7 if(n%i==0)return 0; 8 return 1; 9 } 10 ll gcd(ll a,ll b){ 11 return b?gcd(b,a%b):a; 12 } 13 struct fraction{ 14 ll p,q; 15 fraction(ll _p=1,ll _q=1){ 16 p=_p;q=_q; 17 } 18 friend fraction operator - (fraction a,fraction b){ 19 fraction c; 20 ll tmp=gcd(a.q,b.q); 21 c.p=b.q/tmp*a.p-a.q/tmp*b.p; 22 c.q=a.q/tmp*b.q; 23 tmp=gcd(c.p,c.q); 24 c.p/=tmp;c.q/=tmp; 25 return c; 26 } 27 }a,b; 28 int main(void){ 29 std::ios::sync_with_stdio(false); 30 cin>>T; 31 while(T--){ 32 cin>>n; 33 v=n;u=n+1; 34 while(!prime(v))v--; 35 while(!prime(u))u++; 36 a=fraction(u-2,2*u); 37 b=fraction(u-1-n,v*u); 38 a=a-b; 39 cout<<a.p<<"/"<<a.q<<endl; 40 } 41 }