Codeforces：Dreamplay and LCM

Codeforces：Dreamplay and LCM

题目链接：http://codeforces.com/group/gRkn7bDfsN/contest/212150/problem/D

题目大意：求$LCM(C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,k))$.

数论

由算数基本定理可设，$C(n,m)=prod prime_i^{a_{mi}}$.

令$b_i=max{a_{xi}|0 leqslant x leqslant k}$，则$[C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,k)]=prod prime_i^{b_i}$.

由组合数的公式$C(n,m)=frac{n!}{(n-m)! imes m!}$可以得到$C(n,m)=C(n,m-1) imes frac{n-m+1}{m}$，即如果求得$C(n,m-1)$的分解式，那么$C(n,m)$的分解式可以很轻松得到，同理也可以得到$[C(n,0),C(n,1),C(n,2),...,C(n,k)]$的分解式.

因为可能会用到多次同一个数的分解式，故可先将$2$到$n$的分解式预处理成表以降低复杂度.

代码如下：

#include <iostream>
#include <cstring>
#define Max(x,y) (x>y?x:y)
#define Min(x,y) (x<y?x:y)
#define N 1000005
using namespace std;
typedef long long ll;
bool isp[N];
ll n,k,res=1,p[N],ans[N],temp[N],m=1000000007,table[N][25],f[N];
ll prime(ll n){
    ll k=0;
    memset(isp,1,sizeof(isp));
    isp[1]=0;
    for(ll i=2;i<=n;++i){
        if(isp[i]){f[i]=k;p[k++]=i;}
        for(ll j=0;j<k&&i*p[j]<=n;++j){
            isp[i*p[j]]=0;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
    return k;
}
void trans(ll x,ll t){
    for(ll i=1;i<=table[x][0];++i){
        ll idx=f[table[x][i]];
        temp[idx]+=t;
        ans[idx]=Max(temp[idx],ans[idx]);
    }
}
ll mpow(ll x,ll n){
    ll b=x,ans=1;
    while(n){
        if(n&1)ans=(ans*b)%m;
        b=(b*b)%m;
        n>>=1;
    }
    return ans;
}
void takeTable(ll x){
    for(ll i=2;i<=x;++i){
        ll t=i;
        for(ll j=0;t!=1;++j){
            while(t%p[j]==0&&t!=1){
                t/=p[j];
                table[i][++table[i][0]]=p[j];
            }
            if(isp[t]){//cut the branch
                table[i][++table[i][0]]=t;
                break;
            }
        }
    }
}
int main(void){
    std::ios::sync_with_stdio(false);
    cin>>n>>k;
    ll np=prime(n);
    takeTable(n);
    for(ll i=1;i<=Min(k,n/2);++i){
        if((n-i+1)%i){
            trans(i,-1);
            trans(n-i+1,1);
        }else trans((n-i+1)/i,1);
    }
    for(ll i=0;i<np;++i)
        res=(res*mpow(p[i],ans[i]))%m;
    cout<<res<<"
";
}