Problem 77：Prime summations

Problem 77：Prime summations

题目链接：http://static.projecteuler.net/problem=77

题目大意：求最小的$n$，使得将$n$分解为若干个素数和的分解方法超过$5000$种.

二分+完全背包计数

设$n$的分解式的个数为$f(n)$，不难证明$f(n)$为单调函数，故若能较快求出$f(n)$则可用二分解.

直接分解求分解式的个数并不是很容易，考虑小于等于$n$的素数组合成$n$有多少种方案，于是问题就成了完全背包计数问题，求$f(n)$的复杂度为$O(frac{n^2}{logn})$.

总复杂度为$O(n^2)$.

代码如下：

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
#define N 100005
using namespace std;
bool vis[N];
typedef long long ll;
ll p[N],k,dp[N];
void prime(){
    for(ll i=2;i<N;++i){
        if(!vis[i])p[k++]=i;
        for(ll j=0;j<k&&p[j]*i<N;++j){
            vis[p[j]*i]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }
}
ll check(ll n){
    memset(dp,0,sizeof(dp));dp[0]=1;
    for(ll i=0;i<k&&p[i]<=n;++i)
        for(ll j=p[i];j<=n;++j)
            dp[j]+=dp[j-p[i]];
    return dp[n];
}
int main(void){
    prime();
    ll l=1,r=500;
    while(l<=r){
        ll mid=(l+r)/2;
        if(check(mid)>5000)r=mid-1;
        else l=mid+1;
    }
    cout<<l;
}