XDOJ 1201: Dogs of Qwordance Senior Backend R&D Engineers
题目链接：http://acm.xidian.edu.cn/problem.php?id=1201
题目大意：已知长宽均为整数的矩形面积为$n$，现要在该矩形上划上水平和垂直间隔为相同整数的网格，问有多少种方案.
组合数学+线性筛
若将数$x$按素因数分解，可以得到$x=prod_{i=0}^kp_i^{c_i}$，从而有$ au(x)=prod_{i=0}^k(c_i+1)$，其中$ au(x)$为$x$的因子数.
由题意得到，方案数为$sum_{d|n} au(d) imes au(n/d)=prod_{i=0}^k(sum_{j=0}^{c_i}(j+1)(c_i-j+1))$.
注意素因数分解时，需要预处理$sqrt{n}$内的素数，使原本$O(sqrt{n})$的分解复杂度降为$O(pi(sqrt{n}))$，即$O(frac{sqrt{n}}{lnn})$.
总复杂度为$O(n+T(frac{sqrt{n}}{lnn}+lg^2n))$
代码如下：
1 #include <cstdio> 2 #define N 1000005 3 using namespace std; 4 typedef long long ll; 5 ll n,p[N],k,ans,a[N],d; 6 bool v[N]; 7 void prime(){ 8 v[1]=1; 9 for(ll i=2;i<N;++i){ 10 if(!v[i])p[k++]=i; 11 for(ll j=0;j<k&&p[j]*i<N;++j){ 12 v[p[j]*i]=1; 13 if(i%p[j]==0)break; 14 } 15 } 16 } 17 int main(void){ 18 prime(); 19 while(~scanf("%lld",&n)){ 20 ans=1;d=0; 21 for(int i=0;p[i]*p[i]<=n;++i)if(n%p[i]==0){ 22 ll tot=0; 23 while(n%p[i]==0){ 24 tot++; 25 n/=p[i]; 26 } 27 a[d++]=tot; 28 }if(n!=1)ans*=4; 29 for(ll i=0;i<d;++i){ 30 ll t=0; 31 for(ll j=0;j<=a[i];++j) 32 t+=(j+1)*(a[i]-j+1); 33 ans*=t; 34 } 35 printf("%lld ",ans); 36 } 37 }