51nod 1116：K进制下的大数

51nod 1116：K进制下的大数

题目链接：http://www.51nod.com/onlineJudge/questionCode.html#!problemId=1116

题目大意：给定一个大数，该数在$K$进制下是$K-1$的倍数，问最小的$K$（$2 leqslant K leqslant 36$）是多少，若无解输出No Solution。

二项式定理

这题虽然可以暴力枚举，但还有更优雅的做法。

考虑一个$K$进制的大数$A$可以被表示为$sum_{x=0}a_xK^x$，

由二项式定理可得$A=sum_{x=0}a_x(K-1+1)^x=sum_{x=0}a_x[T(K-1)+1] equiv sum_{x=0}a_x(mod K-1)$.

故只需判断各个位上的数字和是否被$K-1$整除即可.

代码如下：

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
string s;
int n,w=0;
int digit(char c){
    if('0'<=c&&c<='9')return c-'0';
    return c-'A'+10;
}
int main(void){
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.length();++i){
        n+=digit(s[i]);
        w=max(w,digit(s[i]));
    }
    for(int i=w;i<36;++i)if(n%i==0){
        cout<<i+1;
        return 0;
    }
    cout<<"No Solution";
}