我们把集合:叫做高斯整数环,其中Z表示通常的整数环,而用表示复数域上的整数环。
那么什么是环呢?就是通过加减乘三种运算后,仍然能满足本身性质的就叫做环。
范的定义:设,,定义a的范为
设,则
(1)为非负整数,并且
(2)
(3)若,则
逆的定义:设,如果存在,使得,则称为中的乘法可逆元,简称可逆元,并且
叫做的逆。
高斯整数是可逆元的充要条件是:。 中只有4个可逆元,分别是:和
定义:设和是两个非零高斯整数,如果存在可逆元,使得,则称和等价,并表示成,换句话说,
与等价,是指,,或者
高斯素数
定义:设为中的非零非可逆元,我们称为高斯素数,是指的每个因子或者为可逆元,或者是与等价的高斯整数。
引理:
(1)设为高斯整数,并且为素数,则必定为高斯素数。
(2)若为高斯素数,则其共轭元也是高斯素数。
如何判断一个高斯整数是否属于高斯素数呢?可以用下面的方法:
高斯整数是素数当且仅当:
(1)a、b中有一个是零,另一个数的绝对值是形如4n+3的素数;
(2)a、b均不为零,而为素数;
有了这个结论,那么我们就可以很轻松的解决HDU2650题了。
题意:给出,其中,判断是否为高斯素数。
分析:其实就是上面的判断高斯素数的方法,但是注意一点,这里,而正常情况是,其实差不多一样,
只是把为素数这个条件改为:为素数即可,那么如果把题目描述改为呢?同样的道理只需把
判断条件改成为素数即可,由于很大,所以写个Miller_Rabin吧。。。
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <iostream> const int Times=10; using namespace std; typedef long long LL; LL multi(LL a,LL b,LL m) { LL ans=0; while(b) { if(b&1) { ans=(ans+a)%m; b--; } b>>=1; a=(a+a)%m; } return ans; } LL quick_mod(LL a,LL b,LL m) { LL ans=1; a%=m; while(b) { if(b&1) { ans=multi(ans,a,m); b--; } b>>=1; a=multi(a,a,m); } return ans; } bool Miller_Rabin(LL n) { if(n==2) return true; if(n<2||!(n&1)) return false; LL a,m=n-1,x,y; int k=0; while((m&1)==0) { k++; m>>=1; } for(int i=0;i<Times;i++) { a=rand()%(n-1)+1; x=quick_mod(a,m,n); for(int j=0;j<k;j++) { y=multi(x,x,n); if(y==1&&x!=1&&x!=n-1) return false; x=y; } if(y!=1) return false; } return true; } int main() { LL a,b; while(~scanf("%I64d%I64d",&a,&b)) { if(a==0) { if(b%4==3&&Miller_Rabin(b)) puts("Yes"); else puts("No"); } else { LL t=a*a+2*b*b; if(Miller_Rabin(t)) puts("Yes"); else puts("No"); } } return 0; }
以下代码的功能是找一个整数的所有高斯整数的素因子。
#include <iostream> #include <stdlib.h> #include <string.h> #include <stdio.h> #include <math.h> using namespace std; const int N=100005; int prime[N], p[N],k; int pri[N],top; int n; struct point { int a; int b; char oper; }s[N]; int num; //筛选素数 void isprime() { k=0; int i,j; memset(prime,true,sizeof(prime)); for(i=2;i<N;i++) { if(prime[i]) { p[k++]=i; for(j=i+i;j<N;j+=i) { prime[j]=false; } } } } //素因子分解 void Divide(int n) { int i; top=0; for(i=0; i<k; i++) { if(n%p[i]==0) { pri[top++]=p[i]; n/=p[i]; while(n%p[i]==0) { pri[top++]=p[i]; n/=p[i]; } } } if(n>1) pri[top++]=n; } //高斯素数分解 void Part(int prime) { int i; if(prime==2) { s[num].a = 1; s[num].b = 1; s[num++].oper = '+'; s[num].a = 1; s[num].b = 1; s[num++].oper = '-'; } else if((prime - 1)%4==0) { for(i=1;;i++) { int u=int(sqrt(prime-i*i*1.0)+1e-5); if(u*u+i*i==prime) { s[num].a = i; s[num].b = u; s[num++].oper='+'; s[num].a = i; s[num].b = u; s[num++].oper='-'; break; } } } else { s[num].a=prime; s[num++].b=0; } } int cmp(const void *a, const void *b) { point *c = (point *)a; point *d = (point *)b; if(c->a != d->a) return c->a - d->a; if(c->b != d->b) return c->b - d->b; return c->oper == '-' ? 1 : -1; } void Print(int key) { printf("%d", s[key].a ); if(s[key].b == 0) return; if(s[key].b == 1) printf("%cj", s[key].oper); else printf("%c%dj", s[key].oper, s[key].b); } int main() { isprime(); int i, cas=1; while(~scanf("%d", &n)) { num = 0; Divide(n); for(i=0;i<top;i++) Part(pri[i]); qsort(s, num, sizeof(point), cmp); printf("Case #%d: ", cas++); Print(0); for(i=1; i<num; i++) { if(s[i].a==s[i-1].a &&s[i].b==s[i-1].b &&s[i].oper==s[i-1].oper) continue; if(i) printf(", "); Print(i); } puts(""); } return 0; }