状压DP总结

状态压缩就是将一行的状态压成一个二进制数，这个数的二进制形式反映了这一行的情况

比如0100111的意义为：这一排的第一个数没被使用，第二个被占用了，第三四个没被占用，第五六七个被占用

我们知道位运算和状压DP一样，也是在二进制下进行的，所以位运算往往可以解决很多问题

我们来看看状压DP（位运算）的常用操作：

有了这些位运算的帮助，我们便可以更加容易的对每一排的状态进行处理

我们来看到状态压缩DP的经典问题（博主正在缓慢更新ing）

一、P1879 [USACO06NOV]玉米田Corn Fields

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define maxn 20
#define mod 100000000
il int read()
{
    re int x=0,k=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') k=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*k;
}
int m,n,a[maxn][maxn],s[maxn],dp[maxn][1<<maxn];
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=1;j<=m;++j)
        {
            a[i][j]=read();
            s[i]<<=1;
            s[i]+=a[i][j];
        }
    }
    dp[0][0]=1;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=0;j<(1<<m);++j)//这一行状态
        {
            if((s[i]&j)==j&&!(j&(j<<1))&&!(j&(j>>1)))
            {
                for(re int k=0;k<(1<<m);++k)//上一行状态
                {
                    if(!(j&k))
                    {
                        (dp[i][j]+=dp[i-1][k])%=mod;
                    }
                }
            }
        }
    }
    re int ans=0;
    for(re int i=0;i<(1<<m);++i)
    {
        (ans+=dp[n][i])%=mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}

二、P2622 关灯问题II

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define inf 123456789000000
#define int long long
#define maxn 11
#define maxm 105
il int read()
{
    re int x=0,k=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') k=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*k;
}
int n,m,dp[1<<maxn],a[maxm][maxn];
il int doit(int x,int t)
{
    re int temp=0;
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(a[t][i]==0) temp=(temp<<1)+(x%2);
        else if(a[t][i]==1) temp<<=1;
        else temp=(temp<<1)+1;
        x>>=1;
    }
    return temp;
}
signed main()
{
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=m;++i) for(re int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=read();
    for(re int i=0;i<(1<<n)-1;++i) dp[i]=inf;
    for(re int i=(1<<n)-1;i>=0;--i)
    {
        if(dp[i]!=inf)
        {
            for(re int j=1;j<=m;++j)
            {
                re int temp=doit(i,j);
                dp[temp]=min(dp[i]+1,dp[temp]);
            }
        }
    }
    dp[0]==inf?puts("-1"):printf("%lld",dp[0]);
    return 0;
}

三、P3092 [USACO13NOV]没有找零No Change

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define int long long
using namespace std;
inline int read(){
	int x=0,k=1;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') k=-1;c=getchar();}
	while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
	return x*k;
}
int n,k,c[30],w[100005],dp[70000],ans=-1,sum[100005],tot,lo[30];
bool use[30],vis[100005];
inline void init()
{
	k=read(),n=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{
		c[i]=read();
		tot+=c[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		w[i]=read();
		sum[i]=sum[i-1]+w[i];
	}
	lo[1]=1;
	for(int i=2;i<=k;i++)
	{
		lo[i]=lo[i-1]<<1;
	}
}
inline void work()
{
	int ma=(1<<k);
	for(int i=0;i<ma;i++)
	{
		for(int j=1;j<=k;j++)
		{
			if(i&lo[j])
			{
				int temp=upper_bound(sum+1,sum+n+1,sum[dp[i^lo[j]]]+c[j])-sum-1;
				dp[i]=max(dp[i],temp);
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<ma;i++)
	{
		if(dp[i]==n)
		{
			int cnt=0;
			for(int j=1;j<=k;j++)
			{
				if(i&lo[j])
				{
					cnt+=c[j];
				}
			}
			ans=max(ans,tot-cnt);
		}
	}
	printf("%d",ans);
}
signed main()
{
	init();
	work();
	return 0;
}

四、P2704 炮兵阵地

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
il int read()
{
    re int x=0,k=1;re char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') k=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*k;
}
il int read2()
{
    re char c=getchar();
    while(c!='H'&&c!='P')c=getchar();
    return c=='H'?1:0;
}
#define maxn 11
#define maxm 101
int n,m,sum[1<<maxn],s[maxm],dp[1<<maxn][1<<maxn][maxm],st[1<<maxn];
il int BSGS(int s)
{
    re int ans=0;
    while(s)
    {
        if(s&1) ++ans;
        s>>=1;
    }
    return ans;
}
signed main()
{
    //freopen("a.in","r",stdin),freopen("a.out","w",stdout);
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=1;j<=m;++j)
        {
            s[i]=(s[i]<<1)+read2();
        }
    }
    for(re int i=0;i<(1<<m);++i)
    {
        sum[i]=BSGS(i);
        st[i]=(!(i&(i<<1))&&!(i&(i<<2)));
    }
    for(re int i=0;i<(1<<m);++i)
    {
        for(re int j=0;j<(1<<m);++j)
        {
            if(!(i&j)&&st[j]&&!(j&s[2])&&!(i&s[1])&&st[i])
            {
                dp[i][j][2]=sum[i]+sum[j];
            }
        }
    }
    for(re int i=3;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=0;j<(1<<m);++j)
        {
            if(!(s[i]&j)&&st[j])
            {
                for(re int k=0;k<(1<<m);++k)
                {
                    if(!(s[i-1]&k)&&!(j&k)&&st[k])
                    {
                        for(re int l=0;l<(1<<m);++l)
                        {
                            if(!(l&s[i-2])&&!(k&l)&&!(j&l)&&st[l])
                            {
                                dp[k][j][i]=max(dp[k][j][i],dp[l][k][i-1]+sum[j]);
                            }
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    re int ans=0;
    for(re int i=0;i<(1<<m);++i)
    {
        for(re int j=0;j<(1<<m);++j)
        {
            ans=max(ans,dp[i][j][n]);
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}

五、P1896 [SCOI2005]互不侵犯

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
#define maxn 105
#define maxr 20
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,k=1;
    char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') k=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9')x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*k;
}
ll n,k,ans,cnt,s[maxn],num[maxn],dp[maxr][maxn][maxn];
inline void init()
{
    n=read(),k=read();
    for(int i=0;i<(1<<n);i++)
    {
        if(i&(i<<1))
        {
            continue;
        }
        s[++cnt]=i;
        int t=0;
        for(int j=0;j<n;j++)
        {
            if(i&(1<<j))
            {
                t++;
            }
        }
        num[cnt]=t;
    }
}
inline void work()
{
    dp[0][1][0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        for(int j=1;j<=cnt;j++)
        {
            for(int l=0;l<=k;l++)
            {
                if(l>=num[j])
                {
                    for(int t=1;t<=cnt;t++)
                    {
                        if(!(s[t]&s[j])&&!(s[t]&(s[j]<<1))&&!((s[t]<<1)&s[j]))
                        {
                            dp[i][j][l]+=dp[i-1][t][l-num[j]];
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=cnt;i++)
    {
        ans+=dp[n][i][k];
    }
    cout<<ans;
}
int main()
{
    init();
    work();
    return 0;
}

六、P3959 宝藏

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define il inline
#define debug printf("PassLine:%d
", __LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout);
#define maxn 15
#define maxm 1005
#define inf 123456789
il int read()
{
    re int x=0,f=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+(c^48),c=getchar();
    return x*f;
}
int n,m,a[maxn][maxn],dis[maxn],dp[1<<maxn],ans=inf;
il void dfs(int s)
{
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        if(s&(1<<(i-1)))
        {
            for(re int j=1;j<=n;++j)
            {
                if(!(s&(1<<(j-1)))&&a[i][j]!=inf)
                {
                    if(dp[1<<(j-1)|s]>dp[s]+dis[i]*a[i][j])
                    {
                        re int temp=dis[j];
                        dis[j]=dis[i]+1;
                        dp[1<<(j-1)|s]=dp[s]+dis[i]*a[i][j];
                        dfs(1<<(j-1)|s);
                        dis[j]=temp;
                    }
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    //file(a);
    n=read(),m=read();
    for(re int i=1;i<=n;++i) for(re int j=1;j<=n;++j) a[i][j]=inf;
    for(re int i=1,u,v,w;i<=m;++i)
    {
    	u=read(),v=read(),w=read();
    	a[u][v]=a[v][u]=min(w,a[u][v]);
    }
    for(re int i=1;i<=n;++i)
    {
        for(re int j=0;j<(1<<n);++j) dp[j]=inf;
        for(re int j=1;j<=n;++j) dis[j]=inf;
        dis[i]=1;
        dp[1<<(i-1)]=0;
        dfs(1<<(i-1));
        ans=min(ans,dp[(1<<n)-1]);
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}