Hits算法

Hits算法背景

假定现在有很多网页，每个网页会有一些链接指向其他网页。

在Hits算法中每个网页被赋予两个值：hub和authority，记为(h_i)和(a_i)。

一个网页实质性内容的质量越高，就说它的authority值越高；如果一个网页中链接指向的网站质量越高，就说它的hub值越高。显然一个authority值较高的网页会被较多网页所指向。

于是我们定义一个网页的authority值为所有指向它的网页的hub值之和，一个网页的hub值为它所指向的网页的authority值之和。Hits算法就是在给出网页链接的情况下，通过迭代求出每个网页的authority和hub值。

Hits算法流程

设网页间的邻接矩阵为(M)，也就是(M_{i,j}=1)表示网页(i)指向网页(j)。一开始假定每个网页的authority值和hub值均为1，然后进行迭代，

每次进行如下操作$$a_i=sum_{k=1}^nM_{k,i}h_k$$

[h_i=sum_{k=1}^nM_{i,k}a_k ]

然后把(a)向量和(h)向量标准化。
可以设置一个迭代次数的上限或是当变化量小于某个阈值时结束，就得到了每个网站的authority值和hub值。

Hits算法证明

假定(a^k,h^k)为操作(k)次后的(a,h)向量，那么有$$a^k=MTh^{k-1}$$

[h^k=Ma^k ]

可以发现$$a^k=(MTM)^ka0$$

[h^k=(MM^T)^kh^0 ]

显然(MM^T)和(M^TM)均为实对称矩阵，又因为一个实对称矩阵必有(n)个特征值，并且其特征向量两两正交，设(MM^T)特征值从大到小为(c_1,dots,c_n)，对应的特征向量为(z_1,dots,z_n)，因此(h^0)可由其特征向量线性表出，设为$$MM^T=q_1z_1+dots+q_nz_n$$
那么$$(MM^T)kh_0$$

[=(MM^T)^k(q_1z_1+dots+q_nz_n) ]

又因为((MM^T)z_i=c_iz_i)，因此上式$$=q_1(c_1)^{kz_1+dots+q_n(c_n)}kz_n$$
又因为每次会对向量进行标准化，可以发现最终(h^k)向量会收敛到(MM^T)的主特征向量，同理(a^k)也会收敛，于是我们就证明了这个算法是会收敛的。