线性回归(Linear Regression)，亦称为直线回归，即用直线表示的回归，与曲线回归相对。若因变量Y对自变量X1、X2…、Xm的回归方程是线性方程，即μy＝β0 +β1X1 +β2X2 +…βmXm，其中β0是常数项，βi是自变量Xi的回归系数，M为任何自然数。这时就称Y对X1、X2、…、Xm的回归为线性回归。
简单回归：
只有一个自变量的线性回归称为简单回归，如下面示例：
X表示某商品的数量，Y表示这些不同数量商品的总价格
x=[0, 1, 2, 3, 4, 5]
y=[0, 17, 45, 55, 85, 99]
二维坐标中绘图如下图:
现在当商品数量 X = 6时，估计商品总价是多少？
我们可以很明显的看到，商品总价随商品的数量上升而上升，这是一个典型的线性回归。
因为只有一个自变量X，我们假设线性回归模型： Y = a * X + b
我们需要求出最合适的a，b值，使得直线：Y = a * X + b 与上图的趋势相拟合，这时候才能去预测不同商品数量X下的总价Y。
最小二乘法：
为了求出最合适的a b ，我们引入最小二乘法。
最小二乘法，亦称最小二乘法估计。由样本观测值估计总体参数的一种常用方法。它用于从n对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，……，(xn，yn)确定x与y之间对应关系y=f(x)的一种最佳估计，使得观测值与估计值之差(即偏差)的平方和 H为最小。
最小二乘法能尽量消除偶然误差的影响，从而由一组观测数据求出最可靠、最可能出现的结果。
由上图我们可以很明显的看出直线Y = a * X + b过原点，即 b = 0
我们尝试不同的a值 得到的结果如下：
a = 19 时 H = 154
a = 20 时 H = 85
a = 21 时 H = 126
图像分别如下：
我们可以粗略得出结论 a = 20，b = 0 时，线性模型 Y = 20 * X 与样本数据拟合的比较好。
所以当商品数量 X = 6 时，我们可以粗略估计总价Y = 20 * 6 = 120
多元回归：
大于一个自变量的线性回归叫做多元回归。
上面的例子只是一个自变量，处理起来比较简单，但是若自变量有很多，假设自变量有m个，为 [ x1,x2,x3,x4.....xm ]
这时候我们假设的回归系数（即权重）也需要有m个，即我们假设的线性模型是 Y = X0 + X1*W1 + X2*W2 + X3*W3 + ....... + Xm*Wm
为了计算方便，我们去W0 = 1
这样：Y = X0*W0 + X1*W1 + X2*W2 + X3*W3 + ....... + Xm*Wm
写成向量形式：
W = [W0,W1 , W2 ,W3 , .... ,Wm]
X = [ X0, X1 , X2 , X3 , .... , Xm]
Y = WT * X （WT为向量W的转置）
观测值与估计值之差(即偏差)的平方和：
为了方便后面计算，我们在H的左边乘上二分之一，即：
上面公式中 n 表示训练样本的数目，m 表示每条训练样本 的特征(自变量)个数，
上标表示属于第 j 个 样本，下标表示第 i 个特征(自变量值)，
表示第 j 个样本总价观测值
现在H是关于W0,W1,W2....Wm的函数，我们需要通过合适的方法求出最适合的W值，才能得出一个比较好的线性回归方程。与简单回归相比，这里我们很难通过观察与尝试不同的w值来求解，我们需要采用最优化算法。
梯度算法：
常见的最优化算法有梯度下降法（Gradient Descent）、牛顿法和拟牛顿法（Newton's method & Quasi-Newton Methods）、共轭梯度法（Conjugate Gradient）、 启发式优化方法等，本文详细介绍梯度算法。
明确下我们现在的目标：我们需要通过梯度算法求出---当在H取得最小的情况下，W0 ,W1 ,W2 ,W3 , ....... ,Wm的值，从而写出回归方程。
梯度算法分为梯度上升算法 和 梯度下降算法。梯度下降算法的基本思想是：要找到某函数的最小值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻，梯度上升则相反。对于一个有两个未知数x,y的函数f(x,y)，梯度表示为：
对于Z = f(x,y)，使用梯度下降算法的意味着 沿X轴方向移动
，沿Y的方向移动
，函数f(x,y)必须要在待计算的点上有定义并且可微。
可以通俗理解为：
用梯度下降法找出最小H
我们前面看到：
H是关于W = [W0 ,W1 ,W2 ,W3 , ....... ,Wm]的函数，H的梯度如下：
这个时候对于每一个Wi的梯度：
我们假设每次沿着梯度方向更新的步长为 α，所以W的值更新公式可写为：
所以梯度下降算法的伪代码如下：
每个回归系数(即每个W值)的每个值都为1
重复R次：
计算整个数据集的梯度
使用 更新回归系数W
实例：
用梯度下降 算法求下面商品数据的线性回归方程
我们假设线性回归模型为总价Y = a + b * X1 + c * X2 （X1 X2 分别表示商品1，2的数量）
我们需要求出回归系数W = [ a, b, c]
梯度下降算法如下：
1 import numpy as np 2 3 def grad_desc(train_data, train_labels): 4 """梯度下降""" 5 data_mat = np.matrix(train_data) 6 label_mat = np.matrix(train_labels).transpose() 7 n = np.shape(data_mat)[1] 8 # 步长 9 alpha = 0.001 10 # 最大循环次数 11 max_cycles = 100 12 # 初始化回归系数weights 13 weights = np.ones((n, 1)) 14 for index in range(max_cycles): 15 h = data_mat * weights-label_mat 16 weights = weights - alpha * data_mat.transpose() * h 17 # 返回压平的系数数组 18 return np.asarray(weights).flatten()
我们用上面算法得到的回归系数为
使用 更新回归系数W
修改后的算法如下：
1 import numpy as np 2 3 def advanced_random_grad_desc(train_data, train_labels): 4 """随机梯度下降改进""" 5 data_mat = np.asarray(train_data) 6 label_mat = np.asarray(train_labels) 7 m, n = np.shape(data_mat) 8 # 步长 9 alpha = 0.001 10 # 初始化回归系数weights 11 weights = np.ones(n) 12 max_cycles = 500 13 for j in range(max_cycles): 14 data_index = list(range(m)) 15 for i in range(m): 16 random_index = int(np.random.uniform(0, len(data_index))) 17 h = sum(data_mat[random_index] * weights)-label_mat[random_index] 18 weights = weights - alpha * h * data_mat[random_index] 19 del data_index[random_index] 20 return weights
计算得到的回归系数为：
我们可以得到线性回归方程为：
Y = 1.27 + 4.31 * X1 + 5.28 * X2
写在后面的话：
本文的完整代码已上传：https://gitee.com/beiyan/machine_learning/tree/master/gradient
随机梯度下降(上升)算法使用非常广泛，效果也非常好，后续文章将使用梯度算法来解决一些问题。不例外，梯度算法也是有缺点的，如靠近极小值时收敛速度减慢、直线搜索时可能会产生一些问题、可能会“之字形”地下降等，另外下降或上升步长的选择也会影响最后得到的回归系数，我们可以通过改变一些参数来测试回归的效果。