BZOJ 2226: [Spoj 5971] LCMSum

Description

求(sum_{i=1}^n[i,n],nleqslant 10^6,Tleqslant 3 imes 10^5)

Solution

数论..

(sum_{i=1}^n[i,n])

(=nsum_{i=1}^nfrac{i}{(i,n)})

(=nsum_{d|n}sum_{i=1}^{frac{n}{d}}[(i,frac{n}{d})=1]i)

后面这个其实可以直接算出来

(sum_{i=1}^n[(i,n)=1]i=sum_{i=1}^nisum_{d|i}[d|n]mu(d)=sum_{d|n}mu(d)dsum_{i=1}^{frac{n}{d}}i)

把后面那个式子求和，然后再xjb化一下，就会发现(n=1)时为(1)，其他时候为(frac{nvarphi(n)}{2})..

然后用欧拉筛统计一下...

复杂度(O(nlog n))

Code

/**************************************************************
    Problem: 2226
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:7452 ms
    Memory:28632 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long LL;
const int N = 1000050;
 
int pr[N],cp;
int phi[N],b[N];
LL f[N],h[N];
 
void pre(int n) {
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!b[i]) pr[++cp]=i,phi[i]=i-1;
        for(int j=1;j<=cp && (LL)i*pr[j]<=n;j++) {
            b[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]) phi[i*pr[j]]=phi[i]*(pr[j]-1);
            else { phi[i*pr[j]]=phi[i]*pr[j];break; }
        }
    }
    f[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++) f[i]=1LL*i*phi[i]/2;
    for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j+=i) h[j]+=f[i];
    for(int i=1;i<=n;i++) h[i]*=i;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<phi[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<h[i]<<" ";cout<<endl;
}
int T,n;
 
int main() {
    for(pre(1000000),scanf("%d",&T);T--;)
        scanf("%d",&n),printf("%lld
",h[n]);
    return 0;
}