BZOJ 2694: Lcm

Description

定义整数(a,b),求满足下列条件的([a,b])的和.

(1leqslant aleqslant A,1leqslant bleqslant B,forall n>1,n^2 mid (a,b),Tleqslant 2 imes 10^4,A,Bleqslant 4 imes 10^6)

Solution

数论.

最后一个限制跟(mu)有点关系,可以吧(mu)平方一下..

这个题实质上就是求

(sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mmu((i,j))^2[i,j])

(=sum_{i=1}^nsum_{j=1}^mmu((i,j))^2frac{ij}{(i,j)})

(=sum_{d}mu(d)^2sum_{i=1}^nsum_{j=1}^m[(i,j)=d]frac{ij}{d})

(=sum_{d}mu(d)^2dsum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor}[(i,j)=1]ij)

(=sum_{d}mu(d)^2dsum_{i=1}^{lfloor frac{n}{d} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{d} floor}sum_{pmid i}[pmid j]mu(p)ij)

(=sum_{d}mu(d)^2dsum_{p}mu(p)p^2sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{pd} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{pd} floor}ij)

( ext{Let T=pd})

(=sum_{T}sum_{dmid T}mu(d)^2dmu(frac{T}{d})frac{T}{d}^2sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{T} floor}sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{T} floor}ij)

(=sum_{T}sum_{dmid T}mu(d)^2dmu(frac{T}{d})frac{T}{d}^2(sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{T} floor}i)(sum_{j=1}^{lfloor frac{m}{T} floor}j))

后面的式子可以直接分块来求,主要是前面的函数的前缀和.

(g(n)=sum_{dmid n}mu(d)^2dmu(frac{n}{d})frac{n}{d}^2)

因为他是积性函数的狄利克雷卷积,所以他也是积性函数,而且因为(mu)的存在,一个质数至多存在2个是才会有贡献.

那么线性筛的时候,如果最小质因子超过2次,那么就是0,否则可以直接将它出去,变成两个互质的数.

现在就是考虑(p^k)怎么算,因为(k)只会是(1,2),所以我们可以...人脑暴力...

(g(p)=mu(1)^2mu(p)p^2+mu(p)^2pmu(1)=-p^2+p)

(g(p^2)=mu(p)^2pmu(p)p^2=-p^3)

做完了...因为我一口气写完了所有公式,而且不是用的编辑器...所以可能有错...如果发现请留言qwq...

双倍经验 BZOJ 4659: Lcm

Code

/**************************************************************
    Problem: 2694
    User: BeiYu
    Language: C++
    Result: Accepted
    Time:2096 ms
    Memory:79424 kb
****************************************************************/
 
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
typedef long long ll;
const int N = 4000500;
const int p = 0x3fffffff;
 
int T,n,m;
int pr[N],cp,b[N],mu[N],g[N];
int f[N];
 
void pre(int n) {
    mu[1]=1,g[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++) {
        if(!b[i]) pr[++cp]=i,mu[i]=-1,g[i]=(1-i)*i;
        for(int j=1;j<=cp && i*pr[j]<=n;j++) {
            b[i*pr[j]]=1;
            if(i%pr[j]) {
                mu[i*pr[j]]=-mu[i];
                g[i*pr[j]]=g[i]*g[pr[j]];
            } else {
                if((i/pr[j])%pr[j]) g[i*pr[j]]=g[i/pr[j]]*(-pr[j]*pr[j]*pr[j]);
                else g[i*pr[j]]=0;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++) g[i]+=g[i-1];
//  for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i;j<=n;j+=i) f[j]+=mu[i]*mu[i]*mu[j/i]*(j/i);
//  for(int i=1;i<=n;i++) f[i]=f[i]*i;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<f[i]<<" ";cout<<endl;
//  for(int i=1;i<=n;i++) cout<<g[i]<<" ";cout<<endl;
}
 
int S(int n) { return ((ll)n*(n+1)/2); }
 
int main() {
//  time_t tt=clock();
    pre(4000000);
//  cout<<(clock()-tt)/1000.0/1000.0<<endl;
    for(scanf("%d",&T);T--;) {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        if(n>m) swap(n,m);
        int ans=0;
        for(int i=1,j;i<=n;i=j+1) {
            j=min(n/(n/i),m/(m/i));
//          cout<<i<<" "<<j<<" "<<S(n/i)*S(m/i)*(g[j]-g[i-1])<<endl;
            ans+=S(n/i)*S(m/i)*(g[j]-g[i-1]);
        }printf("%d
",ans&p);
    }
    return 0;
}