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  • 图的存储结构及遍历

    一、图的存储结构

    1.1 邻接矩阵

        图的邻接矩阵存储方式是用两个数组来表示图。一个一维数组存储图中顶点信息，一个二维数组（邻接矩阵）存储图中的边或弧的信息。

        设图G有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

        

        看一个实例，下图左就是一个无向图。

        

        从上面可以看出，无向图的边数组是一个对称矩阵。所谓对称矩阵就是n阶矩阵的元满足aij = aji。即从矩阵的左上角到右下角的主对角线为轴，右上角的元和左下角相对应的元全都是相等的。

        从这个矩阵中，很容易知道图中的信息。

        （1）要判断任意两顶点是否有边无边就很容易了；

        （2）要知道某个顶点的度，其实就是这个顶点vi在邻接矩阵中第i行或（第i列）的元素之和；

        （3）求顶点vi的所有邻接点就是将矩阵中第i行元素扫描一遍，arc[i][j]为1就是邻接点；

        而有向图讲究入度和出度，顶点vi的入度为1，正好是第i列各数之和。顶点vi的出度为2，即第i行的各数之和。

        若图G是网图，有n个顶点，则邻接矩阵是一个n*n的方阵，定义为：

        

        这里的wij表示(vi,vj)上的权值。无穷大表示一个计算机允许的、大于所有边上权值的值，也就是一个不可能的极限值。下面左图就是一个有向网图，右图就是它的邻接矩阵。

        

        那么邻接矩阵是如何实现图的创建的呢？代码如下。

     
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    #include <stdio.h>
    #include <stdlib.h>
    #include <curses.h>
     
    typedef char VertexType;                //顶点类型应由用户定义
    typedef int EdgeType;                   //边上的权值类型应由用户定义
     
    #define MAXVEX  100             //最大顶点数，应由用户定义
    #define INFINITY    65535               //用65535来代表无穷大
    #define DEBUG
     
    typedef struct
    {
        VertexType vexs[MAXVEX];            //顶点表
        EdgeType   arc[MAXVEX][MAXVEX];         //邻接矩阵，可看作边
        int numVertexes, numEdges;      //图中当前的顶点数和边数
    }Graph;
     
    //定位
    int locates(Graph *g, char ch)
    {
        int i = 0;
        for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
        {
            if(g->vexs[i] == ch)
            {
                break;
            }
        }
        if(i >= g->numVertexes)
        {
            return -1;
        }
         
        return i;
    }
     
    //建立一个无向网图的邻接矩阵表示
    void CreateGraph(Graph *g)
    {
        int i, j, k, w;
        printf("输入顶点数和边数: ");
        scanf("%d,%d", &(g->numVertexes), &(g->numEdges));
         
        #ifdef DEBUG
        printf("%d %d ", g->numVertexes, g->numEdges);
        #endif
     
        for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
        {
            g->vexs[i] = getchar();
            while(g->vexs[i] == ' ')
            {
                g->vexs[i] = getchar();
            }
        }
         
        #ifdef DEBUG
        for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
        {
            printf("%c ", g->vexs[i]);
        }
        printf(" ");
        #endif
     
     
        for(i = 0; i < g->numEdges; i++)
        {
            for(j = 0; j < g->numEdges; j++)
            {
                g->arc[i][j] = INFINITY; //邻接矩阵初始化
            }
        }
        for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
        {
            char p, q;
            printf("输入边(vi,vj)上的下标i，下标j和权值: ");
             
            p = getchar();
            while(p == ' ')
            {
                p = getchar();
            }
            q = getchar();
            while(q == ' ')
            {
                q = getchar();
            }
            scanf("%d", &w);   
             
            int m = -1;
            int n = -1;
            m = locates(g, p);
            n = locates(g, q);
            if(n == -1 || m == -1)
            {
                fprintf(stderr, "there is no this vertex. ");
                return;
            }
            //getchar();
            g->arc[m][n] = w;
            g->arc[n][m] = g->arc[m][n];  //因为是无向图，矩阵对称
        }
    }
     
    //打印图
    void printGraph(Graph g)
    {
        int i, j;
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
            {
                printf("%d  ", g.arc[i][j]);
            }
            printf(" ");
        }
    }
     
    int main(int argc, char **argv)
    {
        Graph g;
         
        //邻接矩阵创建图
        CreateGraph(&g);
        printGraph(g);
        return 0;
    }

         从代码中可以得到，n个顶点和e条边的无向网图的创建，时间复杂度为O(n + n2 + e)，其中对邻接矩阵Grc的初始化耗费了O(n2)的时间。

    1.2 邻接表

        邻接矩阵是不错的一种图存储结构，但是，对于边数相对顶点较少的图，这种结构存在对存储空间的极大浪费。因此，找到一种数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。

        邻接表的处理方法是这样的：

        （1）图中顶点用一个一维数组存储，当然，顶点也可以用单链表来存储，不过，数组可以较容易的读取顶点的信息，更加方便。

        （2）图中每个顶点vi的所有邻接点构成一个线性表，由于邻接点的个数不定，所以，用单链表存储，无向图称为顶点vi的边表，有向图则称为顶点vi作为弧尾的出边表。

        例如，下图就是一个无向图的邻接表的结构。

        

        从图中可以看出，顶点表的各个结点由data和firstedge两个域表示，data是数据域，存储顶点的信息，firstedge是指针域，指向边表的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。边表结点由adjvex和next两个域组成。adjvex是邻接点域，存储某顶点的邻接点在顶点表中的下标，next则存储指向边表中下一个结点的指针。

        对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。如下图所示。

        

        对于邻接表结构，图的建立代码如下。

     
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    /* 邻接表表示的图结构 */
    #include <stdio.h>
    #include<stdlib.h>
     
    #define DEBUG
    #define MAXVEX 1000         //最大顶点数
    typedef char VertexType;        //顶点类型应由用户定义
    typedef int EdgeType;           //边上的权值类型应由用户定义
     
    typedef struct EdgeNode         //边表结点
    {
        int adjvex;         //邻接点域，存储该顶点对应的下标
        EdgeType weigth;        //用于存储权值，对于非网图可以不需要
        struct EdgeNode *next;      //链域，指向下一个邻接点
    }EdgeNode;
     
    typedef struct VertexNode       //顶点表结构
    {
        VertexType data;        //顶点域，存储顶点信息
        EdgeNode *firstedge;        //边表头指针
    }VertexNode, AdjList[MAXVEX];
     
    typedef struct
    {
        AdjList adjList;
        int numVertexes, numEdges;  //图中当前顶点数和边数
    }GraphList;
     
    int Locate(GraphList *g, char ch)
    {
        int i;
        for(i = 0; i < MAXVEX; i++)
        {
            if(ch == g->adjList[i].data)
            {
                break;
            }
        }
        if(i >= MAXVEX)
        {
            fprintf(stderr,"there is no vertex. ");
            return -1;
        }
        return i;
    }
     
    //建立图的邻接表结构
    void CreateGraph(GraphList *g)
    {
        int i, j, k;
        EdgeNode *e;
        EdgeNode *f;
        printf("输入顶点数和边数: ");
        scanf("%d,%d", &g->numVertexes, &g->numEdges);
         
        #ifdef DEBUG
        printf("%d,%d ", g->numVertexes, g->numEdges);
        #endif
         
        for(i = 0; i < g->numVertexes; i++)
        {
            printf("请输入顶点%d: ", i);
            g->adjList[i].data = getchar();          //输入顶点信息
            g->adjList[i].firstedge = NULL;          //将边表置为空表
            while(g->adjList[i].data == ' ')
            {
                g->adjList[i].data = getchar();
            }
        }
        //建立边表
        for(k = 0; k < g->numEdges; k++)
        {
            printf("输入边(vi,vj)上的顶点序号: ");
            char p, q;
            p = getchar();
            while(p == ' ')
            {
                p = getchar();
            }
            q = getchar();
            while(q == ' ')
            {
                q = getchar();
            }
            int m, n;
            m = Locate(g, p);
            n = Locate(g, q);
            if(m == -1 || n == -1)
            {
                return;
            }
            #ifdef DEBUG
            printf("p = %c ", p);
            printf("q = %c ", q);
            printf("m = %d ", m);
            printf("n = %d ", n);
            #endif
         
            //向内存申请空间，生成边表结点
            e = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            if(e == NULL)
            {
                fprintf(stderr, "malloc() error. ");
                return;
            }
            //邻接序号为j
            e->adjvex = n;
            //将e指针指向当前顶点指向的结构
            e->next = g->adjList[m].firstedge;
            //将当前顶点的指针指向e
            g->adjList[m].firstedge = e;
             
            f = (EdgeNode *)malloc(sizeof(EdgeNode));
            if(f == NULL)
            {
                fprintf(stderr, "malloc() error. ");
                return;
            }
            f->adjvex = m;
            f->next = g->adjList[n].firstedge;
            g->adjList[n].firstedge = f;
        }
    }
     
     
    void printGraph(GraphList *g)
    {
        int i = 0;
        #ifdef DEBUG
        printf("printGraph() start. ");
        #endif
         
        while(g->adjList[i].firstedge != NULL && i < MAXVEX)
        {
            printf("顶点:%c  ", g->adjList[i].data);
            EdgeNode *e = NULL;
            e = g->adjList[i].firstedge;
            while(e != NULL)
            {
                printf("%d  ", e->adjvex);
                e = e->next;
            }
            i++;
            printf(" ");
        }
    }
     
    int main(int argc, char **argv)
    {
        GraphList g;
        CreateGraph(&g);
        printGraph(&g);
        return 0;
    }

         对于无向图，一条边对应都是两个顶点，所以，在循环中，一次就针对i和j分布进行插入。

        本算法的时间复杂度，对于n个顶点e条边来说，很容易得出是O(n+e)。

    1.3 十字链表

        对于有向图来说，邻接表是有缺陷的。关心了出度问题，想了解入度就必须要遍历整个图才知道，反之，逆邻接表解决了入度却不了解出度情况。下面介绍的这种有向图的存储方法：十字链表，就是把邻接表和逆邻接表结合起来的。

        重新定义顶点表结点结构，如下所示。

        

        其中firstin表示入边表头指针，指向该顶点的入边表中第一个结点，firstout表示出边表头指针，指向该顶点的出边表中的第一个结点。

        重新定义边表结构，如下所示。

        

        其中，tailvex是指弧起点在顶点表的下表，headvex是指弧终点在顶点表的下标，headlink是指入边表指针域，指向终点相同的下一条边，taillink是指边表指针域，指向起点相同的下一条边。如果是网，还可以增加一个weight域来存储权值。

        比如下图，顶点依然是存入一个一维数组，实线箭头指针的图示完全与邻接表相同。就以顶点v0来说，firstout指向的是出边表中的第一个结点v3。所以，v0边表结点hearvex = 3，而tailvex其实就是当前顶点v0的下标0，由于v0只有一个出边顶点，所有headlink和taillink都是空的。

        

        重点需要解释虚线箭头的含义。它其实就是此图的逆邻接表的表示。对于v0来说，它有两个顶点v1和v2的入边。因此的firstin指向顶点v1的边表结点中headvex为0的结点，如上图圆圈1。接着由入边结点的headlink指向下一个入边顶点v2，如上图圆圈2。对于顶点v1，它有一个入边顶点v2，所以它的firstin指向顶点v2的边表结点中headvex为1的结点，如上图圆圈3。

        十字链表的好处就是因为把邻接表和逆邻接表整合在一起，这样既容易找到以v为尾的弧，也容易找到以v为头的弧，因而比较容易求得顶点的出度和入度。

        而且除了结构复杂一点外，其实创建图算法的时间复杂度是和邻接表相同的，因此，在有向图应用中，十字链表是非常好的数据结构模型。

        这里就介绍以上三种存储结构，除了第三种存储结构外，其他的两种存储结构比较简单。

    二、图的遍历

        图的遍历和树的遍历类似，希望从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫图的遍历。

        对于图的遍历来说，如何避免因回路陷入死循环，就需要科学地设计遍历方案，通过有两种遍历次序方案：深度优先遍历和广度优先遍历。

    2.1 深度优先遍历

        深度优先遍历，也有称为深度优先搜索，简称DFS。其实，就像是一棵树的前序遍历。

        它从图中某个结点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问，则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点，重复上述过程，直至图中的所有顶点都被访问到为止。

        我们用邻接矩阵的方式，则代码如下所示。

     
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    #define MAXVEX  100     //最大顶点数
    typedef int Boolean;            //Boolean 是布尔类型，其值是TRUE 或FALSE
    Boolean visited[MAXVEX];        //访问标志数组
    #define TRUE 1
    #define FALSE 0
     
    //邻接矩阵的深度优先递归算法
    void DFS(Graph g, int i)
    {
        int j;
        visited[i] = TRUE;
        printf("%c ", g.vexs[i]);                           //打印顶点，也可以其他操作
        for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
        {
            if(g.arc[i][j] == 1 && !visited[j])
            {
                DFS(g, j);                  //对为访问的邻接顶点递归调用
            }
        }
    }
     
    //邻接矩阵的深度遍历操作
    void DFSTraverse(Graph g)
    {
        int i;
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            visited[i] = FALSE;         //初始化所有顶点状态都是未访问过状态
        }
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            if(!visited[i])             //对未访问的顶点调用DFS，若是连通图，只会执行一次
            {
                DFS(g,i);
            }
        }
    }

        如果使用的是邻接表存储结构，其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的，只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同，代码如下。

     
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    //邻接表的深度递归算法
    void DFS(GraphList g, int i)
    {
        EdgeNode *p;
        visited[i] = TRUE;
        printf("%c ", g->adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作
        p = g->adjList[i].firstedge;
        while(p)
        {
            if(!visited[p->adjvex])
            {
                DFS(g, p->adjvex);           //对访问的邻接顶点递归调用
            }
            p = p->next;
        }
    }
     
    //邻接表的深度遍历操作
    void DFSTraverse(GraphList g)
    {
        int i;
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            visited[i] = FALSE;
        }
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            if(!visited[i])
            {
                DFS(g, i);
            }
        }
    }

         对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法，对于n个顶点e条边的图来说，邻接矩阵由于是二维数组，要查找某个顶点的邻接点需要访问矩阵中的所有元素，因为需要O(n2)的时间。而邻接表做存储结构时，找邻接点所需的时间取决于顶点和边的数量，所以是O(n+e)。显然对于点多边少的稀疏图来说，邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。

    2.2 广度优先遍历

        广度优先遍历，又称为广度优先搜索，简称BFS。图的广度优先遍历就类似于树的层序遍历了。

        邻接矩阵做存储结构时，广度优先搜索的代码如下。

     
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    //邻接矩阵的广度遍历算法
    void BFSTraverse(Graph g)
    {
        int i, j;
        Queue q;
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            visited[i] = FALSE;
        }
        InitQueue(&q);
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)//对每个顶点做循环
        {
            if(!visited[i])               //若是未访问过
            {
                visited[i] = TRUE;
                printf("%c ", g.vexs[i]); //打印结点，也可以其他操作
                EnQueue(&q, i);           //将此结点入队列
                while(!QueueEmpty(q))     //将队中元素出队列，赋值给
                {
                    int m;
                    DeQueue(&q, &m);       
                    for(j = 0; j < g.numVertexes; j++)
                    {
                        //判断其他顶点若与当前顶点存在边且未访问过
                        if(g.arc[m][j] == 1 && !visited[j])
                        {
                            visited[j] = TRUE;
                            printf("%c ", g.vexs[j]);
                            EnQueue(&q, j);
                        }
                    }
                }
            }
        }
    } 
     
    1
     

        对于邻接表的广度优先遍历，代码与邻接矩阵差异不大， 代码如下。

     
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    //邻接表的广度遍历算法
    void BFSTraverse(GraphList g)
    {
        int i;
        EdgeNode *p;
        Queue q;
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            visited[i] = FALSE;
        }
        InitQueue(&q);
        for(i = 0; i < g.numVertexes; i++)
        {
            if(!visited[i])
            {
                visited[i] = TRUE;
                printf("%c ", g.adjList[i].data);   //打印顶点，也可以其他操作
                EnQueue(&q, i);
                while(!QueueEmpty(q))
                {
                    int m;
                    DeQueue(&q, &m);
                    p = g.adjList[m].firstedge;     找到当前顶点边表链表头指针
                    while(p)
                    {
                        if(!visited[p->adjvex])
                        {
                            visited[p->adjvex] = TRUE;
                            printf("%c ", g.adjList[p->adjvex].data);
                            EnQueue(&q, p->adjvex);
                        }
                        p = p->next;
                    }
                }
            }
        }
    }
     
    1
     

          对比图的深度优先遍历与广度优先遍历算法，会发现，它们在时间复杂度上是一样的，不同之处仅仅在于对顶点的访问顺序不同。可见两者在全图遍历上是没有优劣之分的，只是不同的情况选择不同的算法。
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