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  • 欧拉定理 费马小定理

    欧拉定理

    定义:若n,a为正整数,且n,a互质,则$a^{varphi(n)}equiv 1 (mod n)$

    证明:

    设小于n与n互质的数分别为$x_1,x_2,x_3……x_{varphi(n)}$

    设$m_1=a*x_1,m_2=a*x_2,m_3=a*x_3,……,m_{varphi(n)}=a*x_{varphi(n)}$

    可推出

    1.所有mi中没有同余的。

    证明:

    假设mi和mj同余,则$m_i-m_jequiv 0 (mod n)$设$m_q=m_i-m_jin {m_1,m_2,……,m_{varphi(n)}}$

    这与$n,a$互质和$n,x_q$互质冲突,所以mi中没有同余的

     2.所有mi%n与n互质。

    证明:

    假设mi%n=r,且gcd(r,n)!=1,则gcd(a*xi,n)=gcd(r,n)!=1

    这与n和a,xi互质冲突,故所有mi%n与n互质。

    由前两条结论可以推出

    所以

    证明完毕

    费马小定理

    定义:a是不能被质数p整除的正整数,则

    证明:,由欧拉定理得

    推论:对于任意正整数a,有

    证明:对于a能整除p情况显然成立,对于a不能被p整除的情况,相当于费马小定理

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