最小链覆盖显然不小于最长反链。
下面证明可以构造出一组最小链覆盖使最小链覆盖等于最长反链。
归纳法证明。
设当前偏序集 (P) 中一个极大元素 (u)，删掉 (u) 后最长反链长度为 (k)，某个最小链覆盖为 (left{C_1,C_2,dots,C_k
ight})。
设 (C_i) 中所有元素中在某个最长反链中的元素集合为 (S_i)，显然 (S_i) 非空。令 (x_i=maxleft{S_i
ight})，(x_i) 所在的某个最长反链为 (A_i)。
定理：(forall 1le i
e jle k,x_i
otgt x_j)。
证明：显然 (left|A_icap S_j
ight|=1)。令 (yin A_icap S_j)，则 (ylt x_j,x_i
otgt y o x_i
otgt x_j)。
推论：(left{x_i
ight}) 是一个最长反链。
如果不存在 (i) 使得 (x_ilt u)，则最长反链长度增加 (1)，令 (forall 1le ile k, C'_i=C_i,C'_{k+1}=left{u
ight}) 即可。
否则设 (x_ilt u)，设 (P'=left{left{zin C_i,zle x_i
ight}cupleft{u
ight}
ight})，则 (Psetminus P') 中最长反链长度恰好为 (k-1)，所以最小链覆盖长度为 (k-1)，此时对于 (forall 1le ile k-1)，令 (C'_i) 为 (Psetminus P') 的最小链覆盖，再令 (C'_k=P') 即可。