1、bzoj3481 DZY Loves Math III
求(xy equiv Q pmod {P})的解的组数。以乘积形式输入(P,Q)。
题解
一来直接把P拆质因子转成多个方程最后求乘积。
现在考虑(xy equiv Q pmod {pi^{ai}})的解的组数。
设(p=pi^{ai}, Q=pi^{bi})
假设枚举x
则答案为 sigma gcd(x,p) 其中[gcd(x,p) | q]
改成枚举d=gcd(x,p)
或者说枚举gcd有几个pi因子
则答案为 sigma d* (sigma x: [gcd(x,p/d) == 1]) 其中d | gcd(p,Q)
这是因为你x含有的pi因子不能比d多，所以gcd(x,p/d) == 1
这个是欧拉函数
答案为 (sum_{d | gcd(p,Q)} d*φ(p/d))
枚举i从0至(min(a_i,b_i))，算一下就行，要用公式把(φ(p^a))拆开
(φ(p^a)=p^a*(p-1)/p (a>0))
注意指数为0特判即可
Q等于0也要特判
(注意)一个小trick：(gcd(i,a)==b iff gcd(i/a,b/a)==1)
2、无能为力
数据范围(10^9)
题解
比较毒瘤
细节超多
（1）发现i=0时原式值为1，所以先不考虑0最后加上
（2）按照套路，大胆猜测斐波那契循环节为(P-1)要不然没法做。。。
（3）拆质因子发现(P-1=961749330=2 * 3 * 5 * 17 * 29 * 65027)
（4）发现枚举(i)没有前途，于是枚举 (gcd(i,n)=d)，然后发现$ dbinom{n}{d} $ 和 (x^d) 直接算即可
（5）考虑求满足(gcd(i,n)=d)的(y^i)之和
(gcd(i,n)==d iff gcd(i/d,n/d)==1)
即求满足(gcd(i/d,n/d)==1)的(y^i)之和
对(n/d)的质因子暴力容斥
设枚举到(n/d)的一个因子为(U)
则贡献为$ sum_{k=1}^{N/U} y^{Uk} $
这个式子的值可以分治+快速幂解决
（6）然后发现(5)在模(961749331)意义下有二次剩余，求Fib数列直接做就可以了
3、Function
数据范围(10^{18})
题解
推式子题
上来先打表
扔进OEIS
发现一个很不显然的规律
$f(n)= sum_{i^2 | n} {frac{n}{i^2}} (
于是我们愉快的枚举)i^2$即可
这样枚举范围就变成(10^9)
可以推出(Ans=sum_{i=1}^{sqrt{n}} frac{left lfloor frac{n}{i^2}
ight
floor * (left lfloor frac{n}{i^2}
ight
floor + 1)}{2})
数论分块即可。
注意本题卡(cmath)的(sqrt())精度
传入参数时转成(long double)可以解决
速度垫底不知道为什么QwQ
4、Function（2）
数据范围(10^9)，多测。
题解
推式子题
上来先打表
发现一个不是很显然的规律
设(d(n))表示约数个数函数：
则(sum_{i|n} {μ(i)d(n/i)^2} = d(n^2))
数据范围(10^9)？
我会暴力！
分块打表即可，由于30kb大小限制，块大小顶多设(500000)
交上去发现(TLE)
略加优化：块内的某个位置从两端逼近，比如(F(999888))由(F(1000000))来计算，而(F(2002333))由(F(2000000))来计算
常数减小一倍，就通过了。
5、Ceil it！
数据范围 N<=(10^{18})
题解（纯图片）
6、Road
题意及数据范围：
求(sum_{i=1}^N G^i*i^M,Nle 10^9,Mle 50,G)为(A*A)的矩阵,(Ale 50)。
题解：
(tag)：分治，倍增，二项式定理，矩阵乘法
因为二项式定理同样适用于矩阵，矩阵的乘法、加法也可以直接运算，因此我们可以把(G)直接当常数做。
设(F(n,m))表示(sum_{i=1}^n G^i*i^m)
答案为(F(N,M))
直接递推求(F(N,M))复杂度显然不可接受。
考虑快速幂形式的倍增：
(F(2n,m))
(=sum_{i=1}^{2n} G^i*i^m)
(=sum_{i=1}^n G^i*i^m + G^nsum_{i=1}^n G^i*(i+n)^m)
(=F(n,m)+G^nsum_{i=1}^n G^isum_{j=0}^m dbinom{m}{j} i^j n^{m-j})
(=F(n,m)+G^nsum_{j=0}^m dbinom{m}{j} n^{m-j}sum_{i=1}^n G^ii^j)
(=F(n,m)+G^nsum_{j=0}^m dbinom{m}{j} n^{m-j} F(n,j))
对(i)维护(F(i,0...m))
然后做快速幂
复杂度(O(MA^3logN))
7、Fib
求第(K)大的满足条件的自然数(N)：
(1)N在Fibnacci数列中。
(2)N是完全平方数。
若不存在输出(-1)
(Kle 10^9)
题解
只有(1,1,144)符合要求。
8、求(dbinom{n}{p} pmod{p})
(p)是质数，(3le ple nle 10^{1000})
题解
手玩Lucas
答案即(left lfloor frac{n}{p}
ight
floor)
高精度除法膜法
9、最大公约数
求(GCD(dbinom{2N}{1},dbinom{2N}{3},...,dbinom{2N}{2N-1}))，答案对(1000000007)取模
(Nle 10^{100000})
题解
(lowbit(2N))
10、简单数论题
题目描述：
给三个两两互质的数 (a,b,c)，以及另一个数 (m), 现在他希望找到三个((0,m))内的整数(x,y,z)，
使得(x^a+y^b=z^c pmod{m})。(10^5)组数据，(a,b,c,mle 10^9)。
Sol:
用(2)的方幂构造答案即可。
具体的，
构造(p imes a=q imes b=t)，
这样得到((2^p)^a+(2^q)^b=2 imes 2^t=2^{t+1})，
只要用(exgcd)搞出(2^{t+1}=(2^k)^c)的满足条件的(k)跟(t)就构造出一组((x,y,z))了。
然后要注意(exgcd)求得的一对(x,y)要把调整成正数。
11、(Atcoder) ModularPowerEquation
让你构造方程(n^xequiv xpmod m)的一个正整数解。
(n,mle 10^9)
你的答案不超过(2*10^{18})
Sol:
使用欧拉定理，
令$$xequiv ypmod {φ(m)},(x,y>0)$$
以及$$xequiv n^xequiv n^ypmod m$$
继续可推出$$yequiv n^ypmod{gcd(m,φ(m))}$$
注意到这与原问题形式一致，故递归求解得到一个(y)
此时使用(EXCRT)算法，求出(x)的值，注意时刻保持(x,y>0)，当求出(x=0)时把(x+=M)就好
关于EXCRT算法相关的一些问题可以参考这里 https://www.cnblogs.com/bestwyj/p/10409806.html
但是以上过程感觉还是有一些疑点，这里说一下个人理解：
（1）首先我一来就是上的扩展欧拉定理，但是那个(+φ(p))不太能处理。
后来发现由于某些奇怪的原因直接写成欧拉定理就挺对的。
（2）题目中要求无解打"-1"，但根据实测情况并不会出现无解，尽管全程(Assert(c\%d==0))，但EXCRT一直工作成功。随了(10^4)左右组数据也没出现什么问题。
12、中学数论题
设第 (n) 个素数是 (l)，证明对于任意整数 (0le kle n) 都可以找到一个长度为 (l) 的正整数区间 ([i,i+l-1]) 使得其区间素数个数等于 (k)。
Sol：离散介值随便做一做
13、number
给 (n(le 10^{18}))，要你求所有 (x) 满足 (n|x) 且 (n=d(x)) 的 (x) 的和，取模输出或者报告有无穷个。
Sol：
对于 (nge 6)，可以证明若 (n) 有平方因子，则答案为 inf，可以通过在爆搜的过程中构造方案证明。
对于 (nge 6) 且 (n) 无平方因子，根据爆搜的做法，显然转化为 (omega(n)) 个点的二分图匹配计数，可以状压DP。