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  • 2019 数学联赛 题解 / 游记

    博主联赛打铁了,就回来更博了(哭)。

    今年的联赛按照大众评价似乎是 2016 之后最简单的一次,事实也确实如此吧。二试的几何题和代数题都是初中范围内的基础知识点,而数论题如果能想到在 (mod m)(mod m^2) 下搞就能很容易搞出来,组合压轴还是很困难的。

    我一试爆炸了导致总分过低,二试写出了 A 和 B,而且我省改分过于严格,估计很难拿全分。分数线大家纷纷认为 120 ~ 130,所以我几乎就是打铁了。

    这里先放二试题面。

    Solutions

    一、
    一个比较基础的初中几何,首先连上 (BD), (CE),欲证 (BC=2BP),即证 (BP=CM)
    观察到 ( riangle BPD cong riangle CME),下证之;
    由圆周角相等以及角分线,(angle BDP=angle CEP)
    由已知 (DP=ME)
    ( riangle BPM)( riangle CME) 正弦定理易证 (BD=CE)

    二、
    首先待求式是容易按照套路化简的,(2f) 显然可以化作平方和的形式。
    (a_{-1}=a_{0}=0),则 (2f=sum_{i=1}^{2018} (a_i-a_{i-2})^2 + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2)
    易知对 (xin ext{N}),有 (x^2ge x),仅当 (x=0)(1) 时取等号。
    (2fge a_{2017} + a_{2018} + (a_{2017}-a_{2019})^2 + a_{2018}^2 + a_{2019}^2)
    不妨设 (a_{2017}=t,a_{2018}ge t) 据此放缩一下即:
    (2fge 2t + (t-99)^2 + t^2 + 99^2)
    这是一个二次函数,当 (t=49) 时其最小值为 (14800),故 (fge 7400)
    计数一下方案,设差分数组 (b_n=a_n-a_{n-1}),则对于 (3le ile 2017)(b_iin {0,1}),且对于相邻的两个 (b_i) 不全为 (1)
    插板,方案数是 (1968choose 48)

    三、
    注意到当 (n>2)(m mid a_n-a_{n-1}),那么有 (a_2equiv a_3equiv dots pmod m)
    而题目说存在 (a_r=a_s=a_1),故也有 (a_2equiv a_1pmod m),反之就不存在。
    (a_1=k pmod m)
    在模 (m^2) 意义下:(0equiv a_r-a_sequiv sum_{i=s+1}^r a_i-a_{i-1}equiv msum_{i=s}^{r-1} a_iequiv m(r-s)k pmod {m^2})
    (gcd(k,m)=1) 则必有 (mmid r-s) 即得证。
    这上面是整个的大致思路。
    另外还要讨论当 (m<0)(gcd(k,m)>1)(a_1equiv 0 pmod m)(a_2equiv 0 pmod m) 的情况,都比较容易,但实际考场上需要十分严密的书写证明,感觉不太容易满分。

    四、
    咕咕咕

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