模式分解是否为无损连接的判断方法

方法一：无损连接定理

关系模式R(U，F)的一个分解，ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>}具有无损连接的充分必要条件是：

U₁∩U₂→U₁-U₂ €F⁺ 或U₁∩U₂→U2 -U1€F⁺

方法二：算法

ρ={R₁<U₁,F₁>,R₂<U₂,F₂>,...,R_k<U_k,F_k>}是关系模式R<U,F>的一个分解，U={A₁,A₂,...,A_n}，F={FD₁,FD₂,...,FD_p}，并设F是一个最小依赖集，记FD_i为X_i→A_lj，其步骤如下：

① 建立一张n列k行的表，每一列对应一个属性，每一行对应分解中的一个关系模式。若属性A_j U_i，则在j列i行上真上a_j，否则填上b_ij；

② 对于每一个FD_i做如下操作：找到X_i所对应的列中具有相同符号的那些行。考察这些行中l_i列的元素，若其中有a_j，则全部改为a_j，否则全部改为b_mli，m是这些行的行号最小值。

如果在某次更改后，有一行成为：a₁,a₂,...,a_n，则算法终止。且分解ρ具有无损连接性，否则不具有无损连接性。

对F中p个FD逐一进行一次这样的处理，称为对F的一次扫描。

③ 比较扫描前后，表有无变化，如有变化，则返回第② 步，否则算法终止。如果发生循环，那么前次扫描至少应使该表减少一个符号，表中符号有限，因此，循环必然终止。

举例1：已知R<U,F>，U={A,B,C}，F={A→B}，如下的两个分解：

① ρ₁={AB,BC}

② ρ₂={AB,AC}

判断这两个分解是否具有无损连接性。

①因为AB∩BC=B，AB-BC=A，BC-AB=C

所以B→A ¢F⁺，B→C ¢ F⁺

故ρ₁是有损连接。

② 因为AB∩AC=A，AB-AC=B，AC-AB=C

所以A→B €F⁺，A→C ¢F⁺

故ρ₂是无损连接。

举例2：已知R<U,F>，U={A,B,C,D,E}，F={A→C,B→C,C→D,DE→C,CE→A}，R的一个分解为R₁(AD)，R₂(AB)，R₃(BE)，R₄(CDE)，R₅(AE)，判断这个分解是否具有无损连接性。

 ① 构造一个初始的二维表，若“属性”属于“模式”中的属性，则填a_j，否则填b_ij

② 根据A→C，对上表进行处理，由于属性列A上第1、2、5行相同均为a₁，所以将属性列C上的b₁₃、b₂₃、b₅₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

③ 根据B→C，对上表进行处理，由于属性列B上第2、3行相同均为a₂，所以将属性列C上的b₁₃、b₃₃改为同一个符号b₁₃（取行号最小值）。

④ 根据C→D，对上表进行处理，由于属性列C上第1、2、3、5行相同均为b₁₃，所以将属性列D上的值均改为同一个符号a₄。

⑤ 根据DE→C，对上表进行处理，由于属性列DE上第3、4、5行相同均为a₄a₅，所以将属性列C上的值均改为同一个符号a₃。

⑥ 根据CE→A，对上表进行处理，由于属性列CE上第3、4、5行相同均为a₃a₅，所以将属性列A上的值均改为同一个符号a₁。

⑦ 通过上述的修改，使第三行成为a₁a₂a₃a₄a₅，则算法终止。且分解具有无损连接性。

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