无向图的连通性分析

对于连通图G，若去掉某节点后图不连通。则该节点称作割点。

若去掉某条边后图不连通，则该边称作桥。

要使图G不连通，至少须要删除多少个节点或至少须要删除多少条边，需删除的最少节点数或边数称为连通图的顶连通度和边连通度，连通图的顶连通度和边连通度问题反映了连通图的连通程度。

1.计算连通图的割点

推论1：若u不是根，则u称为割点当且仅当存在u的某一个儿子节点s，从s或s的后代点到u的祖先之间不存在反向边。即是，分支节点u成为割点的充要条件是u有一个儿子s，使得low[s]>=pre[u]。

推论2：若u被选为根，则u成为割点当且仅当它有不止一个儿子点。

计算节点的low函数

计算割点的算法

无向图仅仅有树枝边T和反向边B。

若（v，w）是树枝T，且w或w的后代没有返回v的祖先。则v是割点，low[v]取v及其全部后代返回的最早祖先编号，即low[v]=min(low[v],low[w])；否则（v,w）是反向边B，low[v]取原先v及后代返回的最早祖先编号与w的先序编号中的较小者，即low[v]=min(low[v],pre[w]);

伪代码：

procedure fund_cut_point(u,v);
var w:integer;
{inc(time);low[v]:=time;pre[v]:=time;
 for (each w∈adj[v]) and (w<>u) do
   if pre[w]=-1 then {
     fund_cut_point(v,w);
     if low[w]>=pre[v] then 输出v是割点;
     low[v]:=min(low[v],low[w])}
   else low[v]:=min(low[v],pre[w]);
   }
}

main{
  fillchar(pre,sizeof(pre),$ff);
  time:=1;
  pre[s]:=time;
  low[s]:=time;
  for each w∈adj[s] do {
  if pre[w]<>-1 then fund_cut_point(s,w); 
  inc(p);}
  if p>1 then 输出s是割点并退出程序;
}

2.计算连通图的桥

定理：边（u,v）为桥当且仅当它不在不论什么一个简单回路中。

判别桥的方法：在DFS遍历中发现树枝边（u,v）时，若v和它的后代不存在一条连接u或其祖先的B边，即low[v]>pre[u]（注意不能取等号），或者low[v]=pre[v]，则删除（u,v）后u和v不连通，因此（u,v）为桥。

计算桥的算法

伪代码：

procedure fund_bridge(v);
var w:integer;
{inc(time);
 low[v]:=time;pre[v]:=time;
 for (each w∈adj[v]) and (w<>v) do
 {if pre[w]=-1 then
   {fund_bridge(w);
    if (low[w]=pre[w]) or (low[w]>pre[v]) then 输出（u,v）是桥;
    low[v]:=min(low[v],low[w]);}
    else low[v]:=min(low[v],pre[w]);
  }
}

以下是两道题：

POJ 1144 Network
POJ 1523 SPF

详细详见：http://download.csdn.net/download/boyxiejunboy/8910999（不用积分下载哦）