欧拉定理和费马小定理的证明

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在看这篇博客之前推荐看一看我对于欧拉函数的递推公式的证明，方便理解。

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————————————-欧拉定理的内容————————————————————————–

a和n互质，那么a^phi(n) == 1 ( mod n )

————————————欧拉定理的证明—————————————————————————

设xi为n当中与n互质的数，一共有phi(n)个：

1）设mi = a * xi , 则mi与n互质

因为a与n互质，mi也与n互质，所以说这个两个因数当中都没有与n相同的质因子，所以mi也不可能有，所以mi与n必然互质

2）因为mi与n互质，故mi不能被n整除

mi = p*n+q*r

若余数r与n不互质，那么d = gcd ( r , n )!=1 , mi = d*c(c代表一个正整数)，那么gcd ( mi , n ) != 1 , 与mi和n互质矛盾！

故mi%n == ri, ri 均与n互质

3)若mi == mj ( mod n ) （i!=j）

mi-mj==a*(xi-xj)(mod n ) == 0 ( mod n )

xi和xj均是小于n的正整数,故xi==xj时才能成立，则与i!=j矛盾

故mi%n的余数均不相同，因为mi的个数与n以内与n以内与n互质的数的个数相同，所以ri就是xi的一个不同的排列。

所以从1~n的mi的乘积与1~n的xi的乘积模n下同余，所以约掉相同的部分，a*a*a*a*……..(phi(n)个)==1(mod n ) ， 那么原式得证

———————————费马小定理的证明———————————————————————————

费马小定理其实就是欧拉定理在n是素数时的特例：

a^phi(n) == 1 ( mod n )

当n是素数时，phi(n) = n-1

那么a^(p-1)== 1 ( mod p )