PAT 1001-1010 题解

早期部分代码用 Java 实现。由于 PAT 虽然支持各种语言，但只有 C/C++标程来限定时间，许多题目用 Java 读入数据就已经超时，后来转投 C/C++。浏览全部代码：请戳

本文谨代表个人思路，欢迎讨论;)

1002. A+B for Polynomials (25)

题意

给定两多项式，相加并格式化输出结果。

分析

两种思路

1.采用链表的处理方式；
2.预设好 int[1005]的数组，用下标表示次方，数组中元素值表示对应系数。

第一种方法某种程度上看能节省空间，实现上需要注意操作链表时，循环时的越界问题；方法二用空间换取时间，且实现上更不容易出错。同时，由于浮点数本身精确位数不够，在判定两浮点数相加是否为 0 时，需要对结果值取绝对值后，与 1e-6 做对比。

1003. Emergency (25)

题意

求两个城市之间的加权最短路径。在有多个最短路径记录的情况下，选择路径中所有节点的权重值之和最小的。

分析

Dijkstra 算法的变型实现。两种思路：

1.计算最短路时，在每个节点上用链表 preList 记下所有最短路径的前节点。完成计算后，对 preList 做 dfs 获得每条最短路径的权重值之和，比较后得到结果；
2.计算最短路径时，在节点上，除了记录最短路径中前一个节点 preNode 之外，还对应的记录当前的最短路径上所有节点的权重值之和，这就不用在 Dij 完成之后再做 dfs 了，过程中已经找到了最优解。

相比之下，方法 2 明显更简洁。当然，虽然方法 2 的思路很通用，还需要确定，这一加权的判定条件是能够迭代处理的。

1004. Counting Leaves (30)

题意

计算给定的树各个层级叶子节点的个数

分析

先构建树，鉴于题目的空间限制不严格，可以使用邻接矩阵的方式定义树结构。然后使用 dfs 遍历树的节点，并记录每层的叶子节点数量。可以看到，时间空间的 trade-off 不仅仅是性能上的提升，也会影响带代码实现的复杂程度。

1005. Spell It Right (20)

题意

计算一个数（<=10^{100）的各个位数之和，并用英语按位输出。比如} 15 输出为 one five.

分析

简单题，输出的实现上实际上就用到了 Hash 思想。

1006. Sign In and Sign Out (25)

题意

每个人来到实验室和离开实验室的时间都有记录。找到其中最早来实验室和最晚离开实验室的时间。

分析

逻辑上很简单的一个题，遍历所有数据，找到其中最大和最小的值即可。稍微要处理的就是时间。由于 input 中给出的是 HH:MM:SS 的格式，在比较时需要将其换算为 int 值。实际上，使用 C 语言读入更方便，scanf("%d:%d:%d", &h, &m, &s); 然后计算出time = 3600*h + 60*m + s，时间比较就没有问题了。在最终的输出时再做对应的转换即可。而在 Java 语言中，使用到了 String 的 split 方法划分子串和 Integer.parseInt()转 String 为 int。

1007. Maximum Subsequence Sum (25)

题意

给出一组由正负整数组成的序列，求出拥有最大和的连续子序列。

分析

最暴力的算法是两个循环的 O(n^{2)；进一步要使用分治的思想，可以得到} O(n*logn)；更好的方法可以达到 O(n)，也可以将它看做分治思想。关键在于数学归纳的证明，编程实现非常简单：假定 [0, n-1]的最大连续子串已经求出了，要求 [0,n]的最大连续子串。

1.如果 [0, n-1]中最大子串不包含最右的数字，则判定原最大子串的和与包含最右点的最大子串 + a[n]的和的大小。取大的那个作为 [0, n]的最大子串，并保持一个包含最右点的最大子串。
2.如果 [0, n-1]中最大子串包含最右的数字，则 [0, n]的最大子串为原最大子串+a[n]。

实际上，算法的核心是维持了两个量的记录，即当前的最大子串，以及当前包含最右点的最大子串。

1008. Elevator (20)

题意

给出电梯的行进路径，上下的速度和每层停留时间，计算总时间。

分析

简单的模拟题。

1009. Product of Polynomials (25)

题意

求两个多项式的乘积。

分析

参见 PAT1002，使用数组存储虽然空间占用稍大，但比链表实现要便捷很多。

1010. Radix (25)

题意

给定两个数，其中单个位置上的数值范围可以为 [0-z]。指定其中一个数的进制，试确定是否存在可能的进制让两数的实际值相等。

分析

此题没有交代清楚 input 中 radix 的取值范围以及对一位数有多重可能 radix 的情况如何输出，坑比较大。下面是需要注意的点。

1.input 中两个数字可以是 10 位数，虽然没有告诉 radix 的范围，但在9*10^10 10 1 200这个示例中，可以看到结果的 radix 也可以是很大的。从这个角度看，代码中将 radix 和两个数值都设定为 longlong 是合适的选择。
2.在计算另一个数的 radix 时，简单的遍历 [2, 10^{18]会超时。单调的区间很自然想到使用二分查找。}
3.二分查找的上下界确定能减少耗时：下界选数字的所有位上的最大值+1；上界容易想当然的认为就是题中给定了 radix 的数的值。实际上，示例11 b 1 10就是一个反例，原因在于这个假设忽略了一位数的可能性，解决方案是在取给定 radix 的数值和下界中较大的那个数。
4.在二分查找时，不可直接计算出某个 radix 下数的值，因为可能会 longlong 溢出。于是需要用特定的 compare 函数，在累加的过程中判定是否大于另一个数。算是一种剪枝。
5.还有一个条件：当两个数都是 1 时，输出 2.当两个数相等且不为 1 时，输出题中给出的 radix。（这是从其他人的结题报告中看到的，完全不理解=。=）

注意好这些方面，应该能 ac 了。保重。