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  • CF27E Number With The Given Amount Of Divisors 题解

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    原题链接

    简要题意:

    求最小的有 (n) 个因数的数 (s)(n leq 10^3) ,保证 (s leq 10^{18}).

    考虑质因数分解:

    [s = prod_{i=1}^k p_i^{a_i} ]

    (p_i) 为质数。那么 (s) 的因数个数就会是

    [prod_{i=1}^k (a_i + 1) ]

    考虑最大的 (p_i) 会是几呢?

    (2 * 3 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 = 614889782588491410),约为 (6.1 imes 10^{17}),所以 (p_i) 最大为 (53).

    考虑搜索从大到小枚举当前 (p_i) 的指数,并计算当前的因数个数与 (s).

    具体代码具体分析:

    inline void dfs(ll dep,ll temp,ll num,ll last) {
    	//dep 是当前搜索的素数编号 , temp 是当前的数 , num 是 temp 的因数个数 , last 表示当前最大的指数
    	if(num>n || dep>16) return; //超出范围
    	if(num==n && ans>temp) {
    		ans=temp; return; //更新答案
    	} for(int i=1;i<=last;i++) {
    		if(temp/p[dep]>ans) break; //最优性剪枝
    		dfs(dep+1,temp=temp*p[dep],num*(i+1),i); //往下走一层
    	}
    }
    

    (p) 是提前打好的素数表,只需要打 (16) 个。

    dfs(0,1,1,64);
    

    最后输出 ( ext{ans}) 即可得到答案。

    时间复杂度:(mathcal{O}( ext{wys})).

    实际得分:(100pts).

    细节:

    你可能需要 ( ext{unsigned long long}),因为答案溢出最大可以到 temp * p[dep]( ext{long long}) 应该不能过。

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
     
    inline int read(){char ch=getchar();int f=1;while(ch<'0' || ch>'9') {if(ch=='-') f=-f; ch=getchar();}
    	int x=0;while(ch>='0' && ch<='9') x=x*10+ch-'0',ch=getchar();return x*f;}
     
    typedef unsigned long long ll;
    #define INF ~0LL
    ll p[16]={2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53};
     
    ll n,ans;
    inline void dfs(ll dep,ll temp,ll num,ll last) {
    	if(num>n || dep>16) return;
    	if(num==n && ans>temp) {
    		ans=temp; return;
    	} for(int i=1;i<=last;i++) {
    		if(temp/p[dep]>ans) break;
    		dfs(dep+1,temp=temp*p[dep],num*(i+1),i);
    	}
    }
     
    int main(){
    	ans=INF;
    	n=read();
    	dfs(0,1,1,64);
    	printf("%llu
    ",ans);
    	return 0;
    }
    
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