在椭圆x2+4y2=4 中有很多内接的矩形，这些矩形的边平行于x轴和y轴，找出它们中面积最大的一个。
先作图，椭圆的中心在原点，其内接矩形的中心也在原点。设矩形的其中一点内接椭圆于P(x,y) ， P在第一象限：
矩形的两条边长分别是2x和2y，面积是A=4xy 。还知道x和y都在椭圆上，因此问题可以转换为约束条件下的极值：
数学方案
最直接的方案是使用拉格朗日乘子法：
由于拉格朗日乘子法无法确定最值的类型，所以还要计算函数边界值。当P在椭圆上移动时，如果正好落在x轴上，则长方形退化成直线，此时面积是0；另一个边界值是P落在y轴上，面积也是0。所以判定4是面积的最大值，P的坐标是(1.414, 0.707)
抛开数学的遗传算法
格朗日乘子法很简单，但前提是需要了解偏导、梯度、拉格朗日乘子等一系列前置知识，而遗传算法的优点是不需要复杂的数学知识，可以直接对问题编程求解，这对庞大的程序员群体来说无疑是个福音。
可以通过椭圆得到x和y的关系：
矩形的面积可以写成：
只需要对x进行基因编码就可以利用遗传算法求得最优解。在编写代码前，可以考虑是否能够去掉影响算法运行速度和计算精度根号。
由于x和y都大于等于0，所以当4xy达到最大值时，(4xy)2也将达到最大。在求最值问题时，常系数起不到任何作用，因此求(4xy)2的最大值相当于求x2y2的最大值。结合x和y的关系，原问题转换为：
现在看起来简单多了。
我们把问题精确到小数点后3位，从0.000到1.000之间有999个数，由于999转换成二进制是1111100111，因此可以使用10位二进制基因编码表示y。
代码如下：
1 import math 2 import random 3 import numpy as np 4 import matplotlib.pyplot as plt 5 6 MAX, MIN = 0.999, 0 # y的最大值和最小值 7 CODE_SIZE = 10 # 基因编码长度 8 POPULATION_SIZE = 20 # 种群数量 9 10 def print_solution(code): 11 ''' 12 打印解决方案 13 :param code: 基因编码 14 ''' 15 x, y, A = decode(code) 16 print('x = {0}, y = {1}, A = {2}'.format(x, y, A)) 17 18 def decode(code:list): 19 ''' 20 解码 21 :param code: 基因编码 22 :return: x,y,4xy （x,y都放大了1000倍） 23 ''' 24 y = int(''.join(code), 2) * 0.001 # 将code转换成十进制数 25 if y > MAX: # y超过了边界 26 return -1, -1, -1 27 x = math.sqrt(4 - 4 * (y ** 2)) # x = sqrt(4 -4(y^2)) 28 # 使用退一法保留小数点后三位有效数字 29 x, y = float('%.3f' % x), float('%.3f' % y) 30 return x, y, 4 * x * y 31 32 def fitness_fun(code): 33 ''' 适应度函数 ''' 34 return decode(code)[2] 35 36 def max_fitness(population): 37 ''' 种群中的最优适应个体 ''' 38 return max([fitness_fun(code) for code in population]) 39 40 def init_population(): 41 ''' 构造初始种群 ''' 42 population = [] 43 for i in range(POPULATION_SIZE): 44 population.append(random.choices(['0', '1'], k=CODE_SIZE)) 45 return population 46 47 def selection(population): 48 ''' 精英选择策略''' 49 # 按适应度从大到小排序 50 pop_parents = sorted(population, key=lambda x: fitness_fun(x), reverse=True) 51 # 选择种群中适应度最高的40%作为精英 52 return pop_parents[0: int(POPULATION_SIZE * 0.4)] 53 54 def crossover(population): 55 ''' 单点交叉 ''' 56 pop_new = [] # 新种群 57 code_len = len(population[0]) # 基因编码的长度 58 for i in range(POPULATION_SIZE): 59 p = random.randint(1, code_len - 1) # 随机选择一个交叉点 60 r_list = random.choices(population, k=2) # 选择两个随机的个体 61 pop_new.append(r_list[0][0:p] + r_list[1][p:]) 62 return pop_new 63 64 def mutation(population): 65 '''单点变异''' 66 code_len = len(population[0]) # 基因编码的长度 67 mp = 0.2 # 变异率 68 for i, r in enumerate(population): 69 if random.random() < mp: 70 p = random.randint(0, code_len - 1) # 随机变异点 71 r[p] = '1' if r[p] == '0' else '1' 72 population[i] = r 73 74 def ga(): 75 ''' 遗传算法 ''' 76 population = init_population() # 构建初始化种群 77 max_fit = max_fitness(population) # 种群最优个体的适应度 78 max_fit_list = [max_fit] # 每一代种群的最优适应度 79 i = 0 80 while i < 5: # 如果连续5代没有改进，结束算法 81 pop_next = selection(population) # 选择种群 82 pop_new = crossover(pop_next) # 交叉 83 mutation(pop_new) # 变异 84 max_fit_new = max_fitness(pop_new) # 新种群中最优个体的适应度 85 if max_fit < max_fit_new: 86 max_fit = max_fit_new 87 i = 0 88 else: 89 i += 1 90 population = pop_new 91 max_fit_list.append(max_fit_new) 92 # 按适应度值从大到小排序 93 population = sorted(population, key=lambda x: fitness_fun(x), reverse=True) 94 # 返回最优的个体和每一代种群中最优个体的适应度 95 return population[0], max_fit_list 96 97 def pop_curve(max_fit_list): 98 ''' 显示种群进化曲线 ''' 99 x = np.arange(1, len(max_fit_list) + 1, 1) 100 y = np.array(max_fit_list) 101 plot = plt.plot(x, y, '-') 102 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 103 plt.title('种群进化曲线') 104 plt.xlabel('种群代数') 105 plt.ylabel('种群总成本') 106 plt.show() 107 108 if __name__ == '__main__': 109 # code = ['1','0','1','1','0','0','0','0','1','1'] # 707的二进制基因编码 110 # print_solution(code) 111 best, max_fit_list = ga() 112 print_solution(best) 113 pop_curve(max_fit_list)
decode方法先将y的基因编码转换成对应的十进制数，之后乘以0.001变成相应的小数。适应度函数的值是矩形的面积。遗传算法的主体方法ga()除了得到最优个体外，还额外返回了每一代种群中最优个体的适应度，以便展示种群进化曲线。在实际应用中，可以通过观察进化曲线来观察算法在哪里收敛，从而调整算法的终止条件。
种群的进化曲线
可以看到，算法收敛的相当快。一种可能的结果是：
作者：我是8位的
