在前面的文章中介绍了平均数和数据的尺度，但仅仅通过它们来描述数据是不够的，还需要通过更多的度量描述数据。
测度中心
上一章已经介绍过测度中心（measure of center），测度中心也被称为数据平衡点，能够在某种程度上对数据进行概括。
测度中心虽然是描述数据的一种简便的方法，但它存在有很多局限性。下表是两个篮球运动员在上个月比赛的得分：
得分表中有意识地将得分从低到高排序。下面的代码计算了A和B的均值和中位数：
1 import numpy as np 2 3 A = [7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13] 4 B = [3, 3, 4, 6, 7, 10, 10, 10, 13, 13, 31] 5 mu_A, mu_B = np.mean(A), np.mean(B) # 均值 6 median_A, median_B = np.median(A), np.median(B) # 中位数 7 print('mu_A = {}, mu_B = {}'.format(mu_A, mu_B)) # mu_A = 10.0, mu_B = 10.0 8 print('median_A = {}, median_B = {}'.format(median_A, median_B)) # median_A = 10.0, median_B = 10.0
均值A的描述较为恰当，但是B就不一定了。B的离群数据过多，这些数据将极大地影响均值。虽然中位数受离群数据影响较小，但仍不能完整地描述B的特性，此时我们需要寻求数据的其它指标。
数据的距
数据的全距
测度中心用于量化数据的中心，数据的全距则用于量化数据的离散程度。
全距的计算方式很简单，使用数据的最大值减去最小值，仅此而已，它只是对数据离散程度极其基本的描述。
1 A = [7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13] 2 B = [3, 3, 4, 6, 7, 10, 10, 10, 13, 13, 31] 3 range_A, range_B = max(A) - min(A), max(B) - min(B) # 全距 4 print('range_A = {}, range_B = {}'.format(range_A, range_B)) # range_A = 6, range_B = 28
数据的最小值和最大值分别是全距的下界和上界，二者间的距离就是数据的全距：
全距是由数据的极值计算得出的，仅仅度量了数据的宽度，并且不能指出数据是否包含了异常值，因此全距的使用场景十分有限，很多时候使用全距仅仅是因为它很简单。
全距有一些典型的使用场景：在算法分析时，虽然我们用大O表示法表达算法在平均情况下的效率，但是我们对算法在最好和最差情况的效率依然有很大的兴趣；在软件项目的任务评估时，一个重要的指标是“最坏情况下的完成时间”，毕竟项目进度并不总是那么令人欢欣鼓舞。如此看来，全距并不是那么一无是处。
四分位距
首先要明确的是，四分位和四分卫没有半点关系。
既然全距很容易受异常值影响，那么忽略异常值不就可以了吗？对于B球员来说，可以忽略状态及佳和极差的得分。现在又来了球员C，他的得分情况：
31分远远高出了其他场次，因此忽略31分。现在问题产生了，B球员和C球员采用了不同的异常值忽略方式——B忽略了最低分，而C没有，比较使用不同方式处理的数据，是数据分析的大忌。
忽略异常值的一种较好的方式是使用四分位距。首先将数据排序，然后将数据等分为4份：
从分布上看，四分位距保留了中间靠近均值的50%的数据：
用统一的标准去除了两组数据的异常值。
下四分位数和上四分位数的计算方法和中位数类似。数据集有n个数据，对于下四分位数来说，如果n/4是整数，则下四分位数是n/4位置和n/4 + 1位置的两个数的平均值；如果n/4不是整数，向上取整，该位置的数就是下四分位数。对于上四分位数来说，如果3n/4是整数，则下四分位数是3n/4位置和3n/4 + 1位置的两个数的平均值；如果3n/4不是整数，向上取整，该位置的数就是下四分位数。
球员B共有11个得分，11÷4=2.75，向上取整，下四分位数是数据集中的第3个，下四分位数是4；用11×3÷4=8.25，向上取整，上四分位数是数据集中的第9个，下四分位数是13。该球员的四分距是13 – 4 = 9。
1 A = [7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13] 2 B = [3, 3, 4, 6, 7, 10, 10, 10, 13, 13, 31] 3 lower_A = np.quantile(A, 1/4, interpolation='lower') # 下四分位数 4 higher_A = np.quantile(A, 3/4, interpolation='higher') # 上四分位数 5 lower_B = np.quantile(B, 1/4, interpolation='lower') 6 higher_B = np.quantile(B, 3/4, interpolation='higher') 7 print('lower_A = {}, higher_A = {}'.format(lower_A, higher_A)) # lower_A = 9, higher_A = 11 8 print('lower_B = {}, higher_B = {}'.format(lower_B, higher_B)) # lower_B = 4, higher_B = 13
当然，你也可以把数据分成任意块，比如分成100块，这对于划分名次很有用。假设某个学生的高考成绩是600分，单从成绩无法知道好坏，但如果说这一年高考的第90个百分数是590分，则可以知道这个考生的分数超过了90%以上的学生。
箱形图
我们经常看到箱形图：
知道了四分位数和四分位距，就不难理解箱形图：
箱形图同时显示了数据的全距、四分距和中位数，通过箱形图可以了解数据的偏斜程度。
1 import matplotlib.pyplot as plt 2 plt.boxplot([A, B], labels = ['player A', 'playerB']) # 箱形图 3 plt.show()
playerB上面还有一个小圆圈，它表示异常值，B球员得31分那场比赛被判定为异常值，箱形图自动将它剔除了。
在正态分布的假设下，μ-3σ<=x<=μ+3σ的区域包含了绝大部分数据，该区域之外的数据被认为是异常的（更多信息可参考：https://mp.weixin.qq.com/s/DgiLzv5sOAS7JeUDk-6fLA）：
对于箱形图来说，设lower是下四分位数，heigher是上四分位数，range是四分位距，x是某个数据样本，则下面的的不等式判断x是否是异常值：
对于B球员来说：
处于-9.5或26.5之外的数值是31，因此31被判定为异常数据。
再谈标准差
方差、均方差和协方差(概率8)中已经讨论过标准差，它衡量了数据的波动程度，即量化数据点偏离均值的程度。通过下面的代码计算两个球员的标准差：
1 A = [7, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 11, 12, 13] 2 B = [3, 3, 4, 6, 7, 10, 10, 10, 13, 13, 31] 3 sigma_A, sigma_B = np.std(A), np.std(B) # 标准差 4 print('σ_A = {}, σ_B = {}'.format(sigma_A, sigma_B)) # σ_A = 1.7320508075688772, σ_B = 7.49545316720865
球员A的标准差表示A样本数据的离散程度，可以认为σA近似于A中所有数据点与均值间距离的平均值。样本越分散，远离均值的样本越多，标准差越大。标准差是有单位的，其单位和计算标准差的数据单位一致，A的标准差是球员的得分数。
可以通过柱状图观察数据和标准差的关系：
1 def add_bar(data, mu, sigma, name): 2 ''' 3 添加柱状图 4 :param data: 数据集 5 :param mu: 均值 6 :param sigma: 标准差 7 :param name: 数据集名称 8 ''' 9 length = len(data) 10 plt.bar(left=range(length), height=data, width=0.4, color='green', label=name) 11 plt.plot((0, length), (mu, mu), 'r-', label='均值') # 均值线 12 plt.plot((0, length), (mu + sigma, mu + sigma), 'y-', label='均值+标准差') # 均值线 13 plt.plot((0, length), (mu - sigma, mu - sigma), 'b-', label='均值-标准差') # 均值线 14 plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 用来正常显示中文标签 15 plt.legend(loc='upper left') 16 plt.title('bar of ' + name) 17 18 fig = plt.figure() 19 fig.add_subplot(1, 2, 1) 20 add_bar(A, mu_A, sigma_A, 'A') 21 fig.add_subplot(1, 2, 2) 22 add_bar(B, mu_B, sigma_B, 'B') 23 plt.show()
中间红线是均值。黄线和蓝线分别表示均值加减标准差，标准差越大，黄线和蓝线之间的距离也越大，说明数据的离散程度越大。在两条线之外的数据被认为是离群数据。
变异测度
测度中心和标准差都可以描述数据集的特征，二者都是有单位的，如果想要比较两个不同的数据集，特别对不同尺度的数据集进行横向比较，就需要有一种方式去掉单位。
变异系数（coefficient of variation）是标准差和均值的比率，二者相除去掉了单位，并对标准差进行了标准化处理，这种测度也称为变异测度。
假设下表是NBA中锋和控球后卫的身高数据：
可以看到，中锋的平均身高较高，但变异系数只有2.4%，说明作为球队中最高大的队员，各中锋之间的身高差距不大。控球后卫虽然平均身高更接近普通人，但变异系数是8.0%，说明各球队控球后卫的身高差异也较为明显，该位置对身高的要求相对较弱。
z分数（z-scorce）
z分数也称相对分数，用于描述单个数据点和均值之间的距离。数据点和z分数的计算方法是：
x(i)表示第i个数据点，σ是样本的标准差，带上帽子的x是均值。
标准差近似于所有数据点与均值间距离的平均值，z分数是单个数据点和均值间的距离，更确切地说，是标准化后单个数据点和均值间的距离。
1 z_source_A = (np.array(A) - mu_A) / sigma_A 2 z_source_B = (np.array(B) - mu_B) / sigma_B 3 print('z_source_A =', z_source_A) 4 print('z_source_B =', z_source_B)
z_source_A = [-1.73205081 -1.15470054 -0.57735027 -0.57735027 0. 0. 0.57735027 0.57735027 1.15470054 1.73205081]
z_source_B = [-0.9338995 -0.9338995 -0.80048529 -0.53365686 -0.40024264 0. 0. 0. 0.40024264 0.40024264 2.80169851]
对于的z分数来说，均值的z分数是0，均值加标准差的z分数是1，均值减标准差的z分数是-1：
1 def add_z_bar(z_source, name): 2 ''' 添加z_source柱状图 ''' 3 length = len(z_source) 4 plt.bar(left=range(length), height=z_source, width=0.4, color='green', label=name) 5 plt.plot((0, length), (0, 0), 'r-', label='z_source of μ') 6 plt.plot((0, length), (1, 1), 'b-', label='z_source of μ') 7 plt.plot((0, length), (-1, -1), 'y-', label='z_source of μ') 8 9 plt.title('bar of ' + name) 10 fig = plt.figure() 11 # plt.subplots_adjust(wspace=0.5, hspace=0.5) 12 fig.add_subplot(2, 1, 1) 13 add_z_bar(z_source_A, 'z source of A') 14 fig.add_subplot(2, 1, 2) 15 add_z_bar(z_source_B, 'z source of B') 16 plt.show()
低于均值的数据，z分数是负值；高于均值的数据，z分数是正值；等于z分数的数据，均值为0。下图可以看出z分数和均值的关系：
相关系数
相关系数是描述两个变量间关联性强弱的量化指标。数据的各个特征之间存在关联关系是机器学习模型的重要假设，预测能够成立的原因正是由于特征间存在某种相关性。
相关系数的值介于-1到1之间。两个特征间的关系越强，相关系数越接近±1；关系越若，越接近0。接近+1，表示一个指标增加了，另一个也随之增加；接近-1，表示一个指标增加了，另一个指标将降低。
成年男性的脚长约等与身高的1/7，下面的代码生成了200个身高和脚长的正态分布数据：
1 import numpy as np 2 import matplotlib.pyplot as plt 3 import pandas as pd 4 5 def create_data(count=200): 6 ''' 7 构造2维训练集 8 :param model: train:训练集, test:测试集 9 :param count: 样本数量 10 :return: X1:身高维度的列, X2:脚长维度的列表 11 ''' 12 np.random.seed(21) # 设置seed使每次生成的随机数都相等 13 X1 = np.random.normal(1.7, 0.036, count) # 生成200个符合正态分布的身高数据 14 low, high = -0.01, 0.01 15 # 设置身高对应的脚长，正常脚长=身高/7±0.01 16 X2 = X1 / 7 + np.random.uniform(low=low, high=high, size=len(X1)) 17 return X1, X2 18 19 X1, X2 = create_data() 20 df = pd.DataFrame({'height':X1, 'foot':X2}) 21 print(df.head()) # 显示前5个数据
height foot
0 1.698129 0.250340
1 1.695997 0.233121
2 1.737505 0.247780
3 1.654757 0.238051
4 1.726834 0.241137
身高和脚长的维度不同，1厘米对于身高来说相差不大，但对于脚长来说就很大了。为了寻找关联关系，需要对两个维度进行标准化处理，将二者压缩到统一尺度。
1 from sklearn import preprocessing 2 3 # 使用z分数标准化 4 df_scaled = pd.DataFrame(preprocessing.scale(df), columns=['height_scaled', 'foot_scaled']) 5 print(df_scaled.head())
sklearn的preprocessing使用了z分数标准化，结果如下：
height_scaled foot_scaled
0 -0.051839 0.959658
1 -0.110551 -1.389462
2 1.032336 0.610501
3 -1.246054 -0.716968
4 0.738525 -0.295843
现在可以看看两个维度的相关系数：
corr = df_scaled.corr() # 两个维度的相关系数 print(corr)
height_scaled foot_scaled
height_scaled 1.000000 0.614949
foot_scaled 0.614949 1.000000
这个结果告诉我们，身高和脚长关联关系，由于corr()分析的是线性相关，因此即使相关系数为0，也不能明两个特征间没有关系，只能说不存在线性关系。
作者：我是8位的
出处：https://mp.weixin.qq.com/s/ysMdUdcAk9BuXNH9bvqOBg
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