连通问题

　　写一段程序以实现“给出两点，判断其是否连通”。

　　这个题目可以应用于很多实际问题，如：两个城市间是否有铁路相连，两个电子元件是否有电路相连，两个终端是否有网络相连……此算法仅仅判断是否连通，如果还要求给出连通的具体路径，难度将陡然增加，并且会把问题引入另一个领域——图。

我的第一感觉是把所有节点用一个二维数组存储。在草纸上稍加勾画后便会发现几个问题：

　　1)        对于N个节点，需要N * N 个空间存储，当连通较少时大量的空间将会闲置，无论任何时候，浪费都是一种罪过；

　　2)        实现困难，不信的话就自己试试吧；

　　3)        这毫无疑问是最糟糕的方法。

　　其实稍加思考可以将空间减少指数级：用一维数组构造连通器，如果节点p、q连通，则令id[p] == id[q]。

　　下面是代码片段：

public abstract class Arithmetic {  
  
    protected int id[] = new int[Constant.N];  
      
    public Arithmetic() {  
        init();  
    }  
      
    private void init() {  
        for(int i = 0; i < Constant.N; i++) {  
            id[i] = i;  
        }  
    }  
  
    public abstract void createConnect(int p, int q);  
      
    public abstract boolean isConnect(int p, int q);  
}  

public class Arithmetic_1 extends Arithmetic {  
  
    public Arithmetic_1() {  
        super();  
    }  
  
    @Override  
    public void createConnect(int p, int q) {  
        int t = id[p];  
        for(int i = 0; i < Constant.N; i++) {  
            if(id[i] == t)  
                id[i] = id[q];  
        }  
    }  
      
    @Override  
    public boolean isConnect(int p, int q) {  
        return id[p] == id[q];  
    }  
}  

　　上面的代码可以解决一下小问题。当我试着对10,000个顺序自然数构随机构造10,000次连通时，它花了我一杯咖啡的时间！估计再增加一个0，想要得到结果就得等到“中国老百姓看病最不难”那天真正来临。

　　分析一下效率就知道，对N个数的M次连通，每次构造连通器都会花费N次循环，效率是N*M。如果看成一棵树的话，每次构造连通都将把整棵树毁掉，然后重新打造；如果把两个棵树合并，则需要同时毁掉两棵树，这可真够呛！

　　把两棵树合并的最简方法就是直接把树根合并，按照这个思路改进的代码如下：

public void createConnect(int p, int q) {  
  
    int i,j;  
    for(i = p; i != id[i]; i = id[i]);  
    for(j = q; j != id[j]; j = id[j]);  
              
    if(i != j)  
        id[i] = j;  
}  
  
public boolean isConnect(int p, int q) {  
          
    int i,j;  
    for(i = p; i != id[i]; i = id[i]);  
    for(j = q; j != id[j]; j = id[j]);  
          
    return i == j;  
}  

　　通过指针追溯的方式回答两点是否连通。

　　同样对10,000个顺序自然数构随机构造10,000次连通的测试，虽然可以马上产生连通器，但是在判断是否连通时花费了一些时间，对于大数据的实践，这个算法同样不适用。

　　方法二的结果似乎严重依赖输入，它通常枝繁叶茂，但有可能变得比摩天大楼还高，而且营养不良，正是这点严重影响了isConnect的效率。

　　如果你的方法可以改进，那么它通常可以进一步改进。接下来要做的就是使摩天大楼变成古老的中式建筑群。很简单，在方法二的基础上为树加权，使用另外一个数组sz[]来维护每棵连通树的节点个数，每次合并都会将较小的树连接到较大的树上。

private int sz[] = new int[Constant.N];  
      
    public Arithmetic_3() {  
        super();  
          
        for(int i = 0; i < Constant.N; i++)  
            sz[i] = 1;  
    }  
  
    @Override  
    public void createConnect(int p, int q) {  
  
        int i,j;  
        for(i = p; i != id[i]; i = id[i]);  
        for(j = q; j != id[j]; j = id[j]);  
          
        if(i != j) {  
            //将较小的树连接到较大的树上  
            if(sz[i] < sz[j]) {  
                id[i] = j;  
                sz[j] += sz[i];  
            }  
            else {  
                id[j] = i;  
                sz[i] += sz[j];  
            }  
        }  
    }  

　　这次我甚至可以轻松的对1,000,000个顺序自然数构随机构造1,000,000次连通并很快得到两点是否连通的答案。

---

　　作者：我是8位的

　　出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

　　本文以学习、研究和分享为主，如需转载，请联系本人，标明作者和出处，非商业用途！