多变量微积分笔记16——格林公式

旋度

　　场向量的旋度衡量的是运动的旋转部分，它表达的是在给定点上扭转程度的大小，用数学符号表示就是：

 

　　旋度的大小表示扭转程度，正负表示旋转是顺时针还是逆时针。由上一章可知，在保守中旋度为0。

　　举例来说，如果气流或水流的旋度为0，表示没有涡流，F = xi + yj：

　　F = -yi + xj实际上是一个逆时针匀速转动的向量场，其旋度为2：

　　在复杂运动中，一些点的旋转可能比其他点多，此时旋度不是常数，它依赖于点所处的位置，也就是x和y的值。气象图中，高旋度的地方可能是台风或龙卷风：

　　在力场中，旋度衡量的是任意一点所受的扭矩，或者说扭矩是力转动的对应量。

格林公式

　　如上图所示，在向量场中有一条闭合曲线C，其所围成的区域是R，如果要计算C的线积分,有两种选择，一种是直接计算，另一种是使用格林公式。

　　格林公式是另一种可以避免计算线积分的方法。格林公式是这样描述的：在处处有定义且处处可导的向量场F = Mi + Nj中，逆时针方向的闭合曲线C围成的区域是R，则C的线积分等于区域R上对旋度curl(F)的二重积分：

 

　　这是个奇特的结论，左侧的线积分定义在曲线上，而右侧的二重积分定义的是曲线内部的区域。之所以规定曲线是逆时针，是基于旋度的定义，如果曲线是顺时针，那么等式右侧就是∫∫_R(M_y - N_x)dA。实际上格林公式也与保守场互相佐证，如果是保守场，M_y - N_x = 0，等式右侧的二重积分也为0。

公式的由来

　　这个怪异的公式是如何得到的呢？

　　点在场中的闭合曲线C上逆时针运动，尝试一个简化问题的验证，假设场是F = Mi，也就是N = 0，那么现在需要证明的是：

 

　　如果上式成立，则同理可证：

　　明确目标后先来看一个图示：

　　将C围成的闭合区域拆分成C₁和C₂两部分，它们都是逆时针方向。将C₁和C₂的线积分相加，将比C的线积分多计算了两次分界线。注意分界线上C₁和C₂的方向，发现二者相反，所以在分界线上二者抵消，故：

　　如果格林公式成立，则：

　　由此推广，对于更复杂的曲线，总是可以分成多个相对简单小区域，如果格林公式成立，则曲线的线积分等于所有小区域的二重积分之和。对于简单的小区域，可以划分成无数个竖直的矩形：

　　将矩形放大：

　　C₁C₂C₃C₄是矩形的四个边，C₂和C₄的曲线分别是y = f1(x) 和y = f2(x)，上图中：

　　至此，达到了最初的目标，所以格林公式成立。

使用示例

　　如上图所示，C是逆时针旋转的半径为1的圆，计算C在场中的线积分：

 

　　首先尝试直接结算，判断一下场是否是保守场：

 

　　对x和y参数化：

 

　　代入后将得到令人抓狂的结果：

 

　　现在改用格林公式：

 

　　这是个不错的结果。为了避免计算复杂的积分域，所以积分域取1/4圆：

　　还有一种更简单的计算方式：

综合示例

示例1

　　场中的逆时针路径C是半径为a，圆心在x轴上的圆，计算：

示例2

　　摆线的参数方程：x = a(θ – sinθ)，y = a(1 – cosθ)，a > 0，y ≥ 0，计算摆线与x轴围成的面积。

　　首先用描点法画出草图：

　　a > 0，y ≥ 0 => 1 – cosθ ≥ 0 => 0 ≤ θ ≤ 2π;

　　θ = 0，x = 0，y = 0; θ = π，x = aπ, y = 2a；θ = 2π，x = 2aπ, y = 0

　　根据格林公式：

 

　　其中的两种可能是：

　　现在将二重积分变成了线积分，如下图所示，C = C₁ + C₂：

 

　　由于x的积分限更好确定，所以使用第二种解：

　　三角函数的积分可参考《数学笔记20——三角替换1（sin和cos）》

示例3

　　是否存在闭合曲线C，能够使下面的积分取最小非负值？

 

　　当C压缩成一点的时候，线积分会有最小值，但是最小值可能是负数，最小的非负值是什么？正负转换的边界曲线又是什么？

　　还是使用格林公式将线积分转换为二重积分：

 

　　二重积分的被积函数是椭圆，从几何意义看来，积分最小时应当取面积最小的椭圆：

　　根据几何意义，二重积分是曲面与曲面在xy轴的投影所围成的体积，当 z = 4y² + x² – 4 < 0时，体积是负值，所以此时线积分也是负值。正负的边界就是g = 4y² + x² – 4 = 0，g所围成的面积是椭圆，所以曲线g就是所要寻找的线积分路径C。

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作者：我是8位的

出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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