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  • 二维图形旋转的推导(转)

     关于二维图形旋转可能在很多计算机图形学相关的书籍上都会介绍,然而真正理解公式推导过程的却讲得不多。那么如何推导出二维图形绕某一点旋转的公式呢?我在这里就将其推导过程简要的说明一下。

    其实推导过程比较简单,首先我们来看一幅图,看看如何推导出二维图形绕原点进行旋转的公式。

    上图画的比较粗略,不过能说明问题就够了。假设旋转前的点位于P处,旋转之后的点位于P'处。如何求旋转之后的点P'坐标?

    在图中,旋转之前P的方向角是a,旋转之后P'的方向角就变为a+b,这里b就是旋转的角度,所谓方向角是改点和原点连线与X轴正向的夹角。旋转的正方向是逆时针

    在图中,从P'点向X轴引垂线,垂足为B点,根据三角形的基础知识,可以写出如下的等式。

    公式1中的R就是点P以及P'到原点的距离

    由公式1,根据高中三角函数的知识,即和差公式得到如下等式2

    通过观察上式,Rcos(a)=x,Rsin(a)=y,所以上式进一步花间可以得到下面的等式。

    这个公式就是我们经常看到的二维图形旋转的公式,这样绕原点的旋转公式推导出来了,那么嗨经常碰到的绕某一点旋转的,比如绕着矢量图形的中心旋转的。在这种情况下,首先需要平移,然后旋转,最后平移回去,具体过程如下。

    由上图可知,(x0,y0)是旋转的顶点,那么先将图形平移到原点,然后绕着原点旋转b角度,最后平移到(x0,y0)上去。

    那么很容易可知绕任意一点(x0,y0)旋转的公式为

    是不是比较简单,我觉得还行。

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