坐标变换

已知n维向量空间中有两组基：({alpha_1,alpha_2, ...,alpha_n}, {eta_1,eta_2, ...,eta_n})

令矩阵 (A,B) 分别为 (A=[alpha_1,alpha_2, ...,alpha_n], B=[eta_1,eta_2, ...,eta_n])

对n维向量 (gamma)，令其在 (alpha,eta) 两组基下的坐标分别为(X, Y)，其中

(X=[X_1,X_2,...,X_n]^{T}, Y=[Y_1,Y_2,...,Y_n]^{T})

则有 (gamma=X_1alpha_1+X_2alpha_2+...+X_nalpha_n=AX) 以及 (gamma=Y_1eta_1+Y_2eta_2+...+Y_neta_n=BY)

因此有 (AX=BY)

于是得到了 (alpha,eta) 两组基下的坐标 (X,Y) 互相变换的公式：

(X=A^{-1}BY) 和 (Y=B^{-1}AX)