hdu 1588 Gauss Fibonacci(等比矩阵二分求和)

题目链接：hdu 1588 Gauss Fibonacci

题意：

g(i)=k*i+b;

f(0)=0
f(1)=1
f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n>=2)

让你求：sum(f(g(i)))for 0<=i<n

题解:

1. S(g(i))
2. = F(b) + F(b+k) + F(b+2k) + .... + F(b+nk)
3. // 设 A = {1,1,0,1}, （花括号表示矩阵...）
4. // 也就是fib数的变化矩阵，F(x) = (A^x) * {1,0}
5. = F(b) + (A^k)F(b) + (A^2k)F(b)+….+(A^nk)F(b)
6. // 提取公因式 F(b)
7. = F(b) [ E +A^k + A^2k + ….+ A^nk] // (E表示的是单位矩阵)
9. // 令 K = A^k 后
10. E +A^k + A^2k + ….+ A^nk 变成 K^0+K^1+K^2+…+K^n

这里用到二分等比求和

#include<bits/stdc++.h>
#define mst(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define F(i,a,b) for(int i=a;i<=b;++i)
using namespace std;
typedef long long ll;

const int mat_N=2;
int mo;
struct mat{
    ll c[mat_N][mat_N];
    void init(){mst(c,0);}
    mat operator*(mat b){
        mat M;int N=mat_N-1;M.init();
        F(i,0,N)F(j,0,N)F(k,0,N)M.c[i][k]=(M.c[i][k]+c[i][j]*b.c[j][k])%mo;
        return M;
    }
    mat operator+(mat b){
        mat M;int N=mat_N-1;
        F(i,0,N)F(j,0,N)M.c[i][j]=(c[i][j]+b.c[i][j])%mo;
        return M;
    }
    mat operator^(ll k){
        mat ans,M=(*this);int N=mat_N-1;ans.init();
        F(i,0,N)ans.c[i][i]=1;
        while(k){if(k&1)ans=ans*M;k>>=1,M=M*M;}
        return ans;
    }
}A,B,C,E;

// 等比二分求和(a+a^2+a^3+...+a^n)
mat calc(mat a, int n) {  
    if (n==1)return a;  
    if (n&1)return (a^n)+calc(a,n-1);  
    return calc(a, n/2)*((a^(n/2))+E);  
} 

int k,b,n;

int main()
{
    A=(mat){1,1,1,0};
    E=(mat){1,0,0,1};
    while(~scanf("%d%d%d%d",&k,&b,&n,&mo))
    {
        B=A^k;
        C=calc(B,n-1)+(A^0);
        C=(A^b)*C;
        printf("%lld
",C.c[0][1]);
    }
    return 0;
}