Java 数据结构 - 二叉树概念：什么样的二叉树可以使用数组存储
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前面讲到的链表、栈和队列都是一对一的线性结构，这节讲一对多的线性结构 - 树。「一对多」就是指一个元素只能有一个前驱，但可以有多个后继。
关于二叉树的学习，分为以下几个部分：
- 二叉树基本概念：树的高度、深度、层次等概念。完全二叉树有什么意义？
- 二叉查找树：一种有序的二叉树。有了哈希表这种插入、删除、查找时间复杂度都是 O(1) 的数据结构，为什么还需要二叉查找树？
- 红黑树：为什么即使红黑树不完全符合平衡二叉查找树的定义，但实际软件工程中使用的平衡二叉查找树都是红黑树？
1. 树的概念
- 度(Degree) ：节点拥有的子树数。树的度是树中各个节点度的最大值。
- 节点 ：度为 0 的节点称为叶节点(Leaf)或终端节点。度不为 0 的节点称为分支节点。除根节点外，分支节点也被称为内部节点。
- 节点关系 ：节点的子树的根称为该节点的孩子(Child)。该结点称为孩子的双亲或父结点。同一个双亲的孩子之间互称为兄弟。
- 节点的层次 ：树的层次从根开始，根为第一层，根的孩子为第二层。双亲在同一层的节点互为堂兄弟。树的深度(Depth)也是从根结点开始计算，与层次不同的是从 0 开始计算。树的高度则相反，从叶子结点开始计算，也是从 0 开始计算。
- 有序树 ：如果将树中节点的各个子树看成从左到右是有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则称为无序树。也称为查找树或搜索树。
- 森林 ：m(m>=0) 棵互不相交的树的集合。
2. 二叉树
2.1 二叉树分类
二叉树(Binary Tree)是树的特殊一种，具有如下特点：
- 每个结点最多有两颗子树，结点的度最大为 2。
- （树自身特征）左子树和右子树是有顺序的，次序不能颠倒。
- （树自身特征）即使某结点只有一个子树，也要区分左右子树。
二叉树可以分为以下几大类：
-
斜树：完全退化为链表。
-
满二叉树：所有的分支结点都存在左子树和右子树，并且所有的叶子结点都在同一层上，这样就是满二叉树。
-
完全二叉树：之所以将完全二叉树单独拿出来讲，是因为完全二叉树的所有结点，刚好可以全部放到数组中而不浪费任何空间。对于完全二叉树的任意结点 arr[i]，那么其左子树为 arr[2i] ，右子树为 arr[2i + 1]。所以完全二叉树很多时候是用数组进行存储的。
-
平衡二叉树(Balanced Binary Tree)：一棵空树或它的左右两个子树的高度差的绝对值不超过 1，并且左右两个子树都是一棵平衡二叉树。平衡二叉树的意义在于，维护树的高度在 logn，避免树退化为链表，导致查找的时间复杂度由 O(logn) 降为 O(n)。
平衡二叉树的常用实现方法有 "AVL" 或 "红黑树" 两种，但实际工程中使用的都是红黑树。
2.2 二叉树存储方式
二叉树同样有链表存储和数组存储二种方式。基于指针的二叉链式存储法非常直观，就不多说了。我们重点分析一下基于数组的顺序存储。
使用数组存储时，数组 arr[0] 不存储任何结点。对于二叉树任意结点 arr[i]，其左子树为 arr[2i] ，右子树为 arr[2i + 1]。如果是完全二叉树，那么其所有的结点都刚好可以存储在数组中，并且没有浪费任何存储空间。但如果不是完全二叉树，如上图所示，arr[5] 就浪费了。
3. 二叉树基本操作
3.1 树的遍历
二叉树根据父结点的访问顺序，分为前序遍历、中序遍历、后序遍历三种情况。
（1）前序遍历
// 递归实现前序遍历
public void preOrder() {
System.out.printf("%s ", value);
if (left != null) {
left.preOrder1();
}
if (right != null) {
right.preOrder1();
}
}
// 非递归实现前序遍历
public void preOrder1() {
TreeNode<E> head = this;
Stack<TreeNode<E>> stack = new Stack();
stack.push(head);
while (!stack.isEmpty()) {
TreeNode<E> pop = stack.pop();
System.out.printf("%s ", head.value);
if (pop.right != null) {
stack.push(pop.right);
}
if (pop.left != null) {
stack.push(pop.left);
}
}
}
（2）中序遍历
// 递归实现中序遍历
public void midOrder() {
if (left != null) {
left.preOrder1();
}
System.out.printf("%s ", value);
if (right != null) {
right.preOrder1();
}
}
// 非递归实现中序遍历
public void midOrder1() {
TreeNode<E> head = this;
Stack<TreeNode<E>> stack = new Stack();
while (!stack.isEmpty() || head != null) {
if (head != null) {
// 先将左结点全部入栈
stack.push(head);
head = head.left;
} else {
// 左结点全部入栈后就需要依次弹出，并处理右结点
head = stack.pop();
System.out.printf("%s ", head.value);
head = head.right;
}
}
}
（3）后序遍历
// 递归实现后序遍历
public void postOrder() {
if (left != null) {
left.preOrder1();
}
if (right != null) {
right.preOrder1();
}
System.out.printf("%s ", value);
}
// 非递归实现后序遍历
public void postOrder2() {
TreeNode<E> head = this;
Stack<TreeNode<E>> stack1 = new Stack();
Stack<TreeNode<E>> stack2 = new Stack();
stack1.push(head);
while (!stack1.isEmpty()) {
TreeNode<E> tmp = stack1.pop();
stack2.push(tmp);
if (tmp.left != null) {
stack1.push(tmp.left);
}
if (tmp.right != null) {
stack1.push(tmp.right);
}
}
while (!stack2.isEmpty()) {
TreeNode<E> tmp = stack2.pop();
System.out.printf("%s ", tmp.value);
}
}
（4）层次遍历
public void levelOrder() {
TreeNode<E> head = this;
Queue<TreeNode<E>> queue = new ArrayDeque<>();
queue.offer(head);
while (!queue.isEmpty()) {
for (int i = 0; i < queue.size(); i++) {
TreeNode<E> tmp = queue.poll();
System.out.printf(String.valueOf(tmp.value) + " ");
if (tmp.left != null) {
queue.offer(tmp.left);
}
if (tmp.right != null) {
queue.offer(tmp.right);
}
}
}
}
3.2 树的深度
// 非递归求树的最大和最小深度
public int maxLevel() {
int level = 0;
TreeNode<E> head = this;
Queue<TreeNode<E>> queue = new ArrayDeque<>();
queue.offer(head);
while (!queue.isEmpty()) {
for (int i = 0; i < queue.size(); i++) {
level++;
TreeNode<E> tmp = queue.poll();
if (tmp.left != null) {
queue.offer(tmp.left);
}
if (tmp.right != null) {
queue.offer(tmp.right);
}
}
}
return level;
}
public int minLevel() {
int level = 0;
TreeNode<E> head = this;
Queue<TreeNode<E>> queue = new ArrayDeque<>();
queue.offer(head);
while (!queue.isEmpty()) {
for (int i = 0; i < queue.size(); i++) {
level++;
TreeNode<E> tmp = queue.poll();
if (tmp.left == null && tmp.right == null) {
return level;
}
if (tmp.left != null) {
queue.offer(tmp.left);
}
if (tmp.right != null) {
queue.offer(tmp.right);
}
}
}
return 0;
}
// 递归求树的最大和最小深度
public int minLevel(TreeNode head) {
if (head == null) {
return 0;
}
if (head.left == null && head.right == null) {
return 1;
}
if (head.left == null && head.right != null) {
return minLevel(head.left) + 1;
}
if (head.left != null && head.right == null) {
return minLevel(head.right) + 1;
}
return Math.min(minLevel(head.left), minLevel(head.right)) + 1;
}
3.3 求公共祖先结点
// 递归求两个结点的公共祖先，一个结点可以是自己的祖先
public TreeNode ancestor(TreeNode root, TreeNode node1, TreeNode node2) {
if (root == node1 || root == node2) {
return root;
}
TreeNode left = ancestor(root.left, node1, node2);
TreeNode right = ancestor(root.right, node1, node2);
if (left == null || right == null) {
return root;
}
return left != null ? left : right;
}
参考：
每天用心记录一点点。内容也许不重要，但习惯很重要！