数学知识 --- 扩展欧几里得算法

裴蜀定理(Bezout定理)

• 对于任意整数a,b，存在一对整数x,y，满足ax + by = c (充要条件是：gcd(a,b)整除c)
• 裴蜀定理针对的是两个变量，也可以扩展到多个变量，只需要两两求最大公约数

扩展欧几里得算法

• 裴蜀定理是按欧几里得算法证明的，同时也给出了整数x，y的计算方法，这种计算方法叫做扩展欧几里得算法

代码如下：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x = 1,y = 0;
		return a;
	}
	int d = exgcd(b,a%b,x,y);
	int z = x,x = y;
	y = z - y * (a / b);
	return d;
}

求方程ax + by = c的通解可以表示为

• d = gcd(a,b)为一组特解，可以求得通解为：
  

求解一次同余方程ax=b(modm)

• ax - b = my, ax = b + my, ax + m(-y) = b
• 有解条件为 gcd(a,m)|b,然后用扩展欧几里得求解即可
• 特别的 当 b=1且 a与m互质时 则所求的x即为a的逆元