数学知识 --- 高斯消元

高斯消元求解线性方程组，时间复杂度：O(n^3)

• 通过一系列初等行变换，把增广矩阵转换为最简阶梯型矩阵，并通过回代求出方程的解
• 适用于求解包含n个方程，n个未知数的多元线性方程

初等行变换：

• 用一个非零数乘某一行
• 交换两行的位置
• 把其中一行的若干倍加到其他行上

对于线性方程组，是由n个n元一次方程组合而成

• 该方程组为：
  

• 增广矩阵为：
  

• 初等行变换为：最简阶梯型矩阵

• 最后，对最简阶梯型矩阵从下到上进行回代，求出方程的解

代码如下：

#define eps 1e-6
 
const int N = 110;

int n;
double a[N][N];

int guass(){
	int c,r;// c 代表 列 col ， r 代表 行 row
	//枚举每一列 
	for(c = 0,r = 0; c < n; c ++ ){
		//找到绝对值最大值的那一行 
		int t = r;
		for(int i = r; i < n; i ++ )
			if(fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
				t = i;
		//若该列最大值等于0，那么跳过		
		if(fabs(a[t][c]) < eps) continue;
		
		//交换第t行与第r行上的所有元素 
		for(int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i],a[r][i]);
		//将该行上第c列的值变为1,其余都除以该数(a[r][[c]) 
		for(int i = n; i >= c; i --) a[r][i] /= a[r][c];
		//第c列下面r+1~n行的值都消为0 
		for(int i = r + 1; i < n; i ++ )
			if(fabs(a[i][c]) > eps) //若该值不等于0 
				for(int j = n; j >= c; j -- )//以行首为倍数，进行改变该行第c~n列的值 
					a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
		//进行下一行 
		r ++;
	}
	if(r < n){
		//0 = d
		for(int i = r; i < n; i ++ ){
			if(fabs(a[i][n] > eps))	return 2; //无解 
		}
		//0 = 0
		return 1;//无穷多组解 
	}
	for(int i = n - 1; i >= 0; i -- ){
		for(int j = i + 1; j < n; j ++ ){
			a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];
		}
	}
	return 0;//有唯一解 
}