统计学 一 集中趋势

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参考书籍:浙大概率论与数理统计, 俄罗斯的概率教材, 概率-施利亚耶夫著作, 统计学及应用-sarah boslaugh著作    

统计学分类:

    描述统计学:展示数据, 描述数据的集中和离散程度

    推断统计学:根据样本数据推断总体的数据特征

统计趋势:

    集中趋势, 离散趋势

统计学应用:

    有数据, 就有统计分析的需求

把握要点:

概率论是统计学实施的基础, 统计学倾向于解决实际问题

    常用符号:

        μ: 总体均值

        σ:总体标准差

        s:样本方差

        Σ:求和

 

总体和样本:

    同一个数据集合既可以是总体也可以是样本, 具体取决于对该数据集合的分析目标

    分析目标是数据集的数据分布, 则该数据集是总体

    分析目标是通过该数据集,推断其他同类数据的趋势,则该数据集为样本

    例如:

        一个数据集为某个班学生的期末成绩

        分析目标是描述成绩分布的时候, 那么该班的期末成绩为总体

        分析目标是通过该班的成绩推断其他学生的期末成绩的时候, 那么该班的期末成绩为样本

    

 

集中趋势描述度量:

数据向中心值靠拢的程度,反映的是数据中心点的位置

反映集中趋势的测度的统计量: 均值, 中位数, 众数

 

    均值:

算术平均数, 所有统计数据的平均值, 描述平均水平

 

        均值对较小或者较大的异常值包容性较小, 容易受极端值的影响, 均值并不适合极端值多的数据集

        对于偏态数据集(非对称数据) 均值结果会产生误导, 不能准确反映大多数数据的趋势, 则改用中位数取代

        极端值: 也叫离群点,

 

    分组数据均值:

        分组区间中点X分组频数

 

    中位数:

数据按照大小的排列顺序,

位于排序后的数据后的中间的数据

    排序后的个数为偶数时: 中位数是中间两个数值的平均值

    排序后的个数为奇数时: 中位数是就是中间的数值

 

太过于分散的数据集, 中位数也不能很好 的描述数据的集中趋势, 缺少敏感性

 

众数:

数据集中出现频数最多的数值, 众数不唯一

 

当数据具有明显的集中趋势的时候, 代表性较好, 不受极端值的影响

 

离散趋势描述度量:

    描述数据分散程度的度量, 也会被称为, 波动测度或者分布测度

    反映离散程度的度量: 极差, 四分位差, 方差, 标准差

    

    极差:

        数据中最大值最小值之差

        简单描述数据的范围大小

    

    四分位差(距):

        数据集中间50%数据的极差, 数值为:数据集中的75%位置的数据和25%位置的数据的值之差

        四分位差求法:

1. 数据集从小到大排序
2. 定义:n = 数据集的数据个数, k = 数据集的第k个百分位
3. 求第k百分位位置的数据位置j
4. J = Nk/100:为整数 取数据集的第j和j+1位置的数据的均值作为第k百分位的数

   J = nk/100:为小数 取数据集的第j+1位置的数据作为第k百分位的数

5. 简单就是除的尽,取该位置的数和他后面的数的均值, 除不尽就取整数位置

方法二:

1. 找到中位数: 50%分位数
2. 找到前半部分的中位数 25%分位数(下分位数)
3. 找到后半部分的中位数 75%分位数(上分位数`)
4. 最小值 (下边缘)
5. 最大值(上边缘)

四分位差不受离群点的影响, 可以制作箱线图, 可以方便的展示数据的分布情况, 数据的极大值,极小值, 数的大多数据的分布情况.

 

    方差σ²:

        每个值和均值的差的平方和除以值个数(元素值的平方和均值的平方差求和再求均值)

        描述数据的离散程度, 数据距离中心越远就越离散

        

    标准差σ:

        方差的开方,为了保持数据描述单位的一致

 

图示表示数据

    图示展示数据要点:

        清晰易懂, 数据间的差别展示清楚, 传达信息明确

 

    频数表, 频数直方图:

        展示不同类别中所含有的实例数, 某一范围的数据的实例的多少

        频数:绝对频数, 相对频数, 累积频数

            相对频数: 每一类中的个体数占全体个数的比例

            累积频数: 低于该类的所有频数的相对频数和

条形图:

    展示只有几个类别的离散数据

堆积条形图:

    突出每组内的值的相对分布情况

 

饼图:

    展示数据的各个部分占全部比例的情况

    

    帕累托图:

        直方图加折线图, 直方图显示频数和相对频数, 折线图显示累积频数,

可以清晰的展示最多影响和累积影响

帕累托2:8原则:

    80%的活动或者结果由20%的原因产生

    

    箱线图:

        由中位数, 第一分位数(下分位数), 第三分位数(上分位数), 最小值(下边缘), 最大值(上边缘) 组成

        可以显示数据的集中趋势, 极差, 对称性, 以及离群点

 

    直方图:

        展示连续数据, 同组数据

        可以判断数据的集中值与正太分布的相似程度

        

    双变量图:

        散点图

        折线图:展示数据的变化趋势

 

    茎叶图:

        左茎右叶图

保留全部数据信息, 只管显示数据据的分布情况

    柱形图:

        显示一段时间内数据的变化, 或者各项之间的比较情况 不同组数据的对比