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  • [BZOJ 3991][SDOI2015]寻宝游戏(dfs序)

    题面

    小B最近正在玩一个寻宝游戏,这个游戏的地图中有N个村庄和N-1条道路,并且任何两个村庄之间有且仅有一条路径可达。游戏开始时,玩家可以任意选择一个村庄,瞬间转移到这个村庄,然后可以任意在地图的道路上行走,若走到某个村庄中有宝物,则视为找到该村庄内的宝物,直到找到所有宝物并返回到最初转移到的村庄为止。

    小B希望评测一下这个游戏的难度,因此他需要知道玩家找到所有宝物需要行走的最短路程。但是这个游戏中宝物经常变化,有时某个村庄中会突然出现宝物,有时某个村庄内的宝物会突然消失,因此小B需要不断地更新数据,但是小B太懒了,不愿意自己计算,因此他向你求助。为了简化问题,我们认为最开始时所有村庄内均没有宝物

    分析

    本质上是在一棵树上取出若干节点,询问把这几个节点访问一遍的距离

    可以发现如果我们按照dfs序将节点排序,然后将排序后的相邻节点距离相加,最后再加上序列首尾距离,就能求出答案

    如序列为{1,3,4,5},则答案为dist(1,3)+dist(3,4)+dist(4,5)+dist(5,1)

    因为我们访问节点一定是像dfs一样访问才能得到最短路径,所以正确性显然

    我们用一个set维护这个排序后的节点序列

    可以发现,每次新加入一个节点之后只会改变节点的前驱和后继相关的距离,维护一下即可

    代码

    //https://www.luogu.org/problemnew/show/P3320
    #include<iostream>
    #include<cstdio>
    #include<set>
    #include<cmath>
    #define INF 0x3f3f3f3f
    #define maxn 100005
    #define maxlogn 20
    using namespace std;
    int n,m;
    struct edge{
        int from;
        int to;
        int next;
        int len;
    }E[maxn<<1];
    int head[maxn];
    int sz=1;
    void add_edge(int u,int v,int w){
        sz++;
        E[sz].from=u;
        E[sz].to=v;
        E[sz].next=head[u];
        E[sz].len=w;
        head[u]=sz;
    }
    int logn;
    int cnt=0;
    int dfn[maxn];
    int hash_dfn[maxn];//存储dfs序为i的节点编号
    int anc[maxn][maxlogn];
    int deep[maxn];
    long long dist[maxn];
    void dfs(int x,int fa){
        dfn[x]=++cnt;
        hash_dfn[dfn[x]]=x;
        deep[x]=deep[fa]+1;
        anc[x][0]=fa;
        for(int i=1;i<=logn;i++) anc[x][i]=anc[anc[x][i-1]][i-1];
        for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
            int y=E[i].to;
            if(y!=fa){
                dist[y]=dist[x]+E[i].len;
                dfs(y,x);
            }
        } 
    }
    int lca(int x,int y){
        if(deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
        for(int i=logn;i>=0;i--){
            if(deep[anc[x][i]]>=deep[y]){
                x=anc[x][i];
            }
        } 
        if(x==y) return x;
        for(int i=logn;i>=0;i--){
            if(anc[x][i]!=anc[y][i]){
                x=anc[x][i];
                y=anc[y][i];
            }
        }
        return anc[x][0];
    }
    long long get_dist(int x,int y){
        return dist[x]+dist[y]-2*dist[lca(x,y)]; 
    }
    
    set<int>seq; //set里实际上存的是节点的dfs序值而不是编号
    long long sum=0,ans;
    int main(){
        int u,v,w,x;
        scanf("%d %d",&n,&m);
        logn=log2(n);
        for(int i=1;i<n;i++){
            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);
            add_edge(u,v,w);
            add_edge(v,u,w);
        }
        dfs(1,0);
        seq.insert(INF);//防止越界
        seq.insert(-INF);
        for(int i=1;i<=m;i++){
            scanf("%d",&x);
            if(!seq.count(dfn[x])){
                int l=*(--seq.lower_bound(dfn[x]));
                int r=*seq.upper_bound(dfn[x]);
                //注意边界判断
                if(l!=-INF) sum+=get_dist(hash_dfn[l],x);
                if(r!=INF) sum+=get_dist(hash_dfn[r],x);
                if(l!=-INF&&r!=INF) sum-=get_dist(hash_dfn[l],hash_dfn[r]);
                seq.insert(dfn[x]);
            }else{
                int l=*(--seq.lower_bound(dfn[x]));
                int r=*seq.upper_bound(dfn[x]);
                if(l!=-INF) sum-=get_dist(hash_dfn[l],x);
                if(r!=INF) sum-=get_dist(hash_dfn[r],x);
                if(l!=-INF&&r!=INF) sum+=get_dist(hash_dfn[l],hash_dfn[r]);
                seq.erase(seq.lower_bound(dfn[x]));
            }
            ans=sum;
            if(seq.size()-2>=2) ans+=get_dist(hash_dfn[*(++seq.lower_bound(-INF))],hash_dfn[*(--seq.lower_bound(INF))]);
            //记得加上首尾距离,注意我们一开始插入了-INF和+INF,所以set的大小>=4时才会有序列首尾
            printf("%lld
    ",ans);
        }
    }
    
    
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/birchtree/p/10822406.html
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