[2019多校联考(Round 6 T3)]脱单计划 (费用流)
题面
你是一家相亲机构的策划总监，在一次相亲活动中，有 n 个小区的若干男士和 n个小区的若干女士报名了这次活动，你需要将这些参与者两两匹配（只能男生和 女生相匹配），每个小区都提供了自己的地址，用二维平面上的坐标(x,y)来表示，若 A 男所在小区的地址为（x1，y1），B 女所在小区的地址为（x2，y2），由“距离产生美”可得，A 男不 B 女匹配的亲密值为他们的曼哈顿距离|x1-x2|+|y1-y2|，现在要求你确定一种匹配方案使得总亲密值最大（每位男士只能匹配一位女士，每位女士也只能匹配一位男士）
分析
此题和[AGC 034D]Manhattan Max Matching几乎一模一样
小区之间两两连容量无穷，费用为两点间曼哈顿距离的边，原点到男士所在小区连容量为该小区男士数量，费用为0的边。女士所在小区到汇点同理。这样显然是会超时的。
考虑简化的情况，如果费用为(x_1-x_2+y_1-y_2),那么可以建一个辅助点u，((x_1,y_1))男士对应的点向u连费用为(x_1+y_1)的边，u向女士((x_2,y_2))连费用为(-x_2-y_2)的边。跑费用流的时候费用叠加，就得到了(x_1-x_2+y_1-y_2)。这样连边的边数是(O(n))的
有绝对值符号怎么办。把绝对值按符号拆成4种情况。(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|=max(x_1-x_2+y_1-y_2,x_2-x_1+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_2-y_1))
建4个辅助点对应4种情况，每个点都像上面那样连边。
由于是最大费用，跑出来的是4种情况最大值，恰好就是曼哈顿距离取了绝对值符号后的结果。
代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<ctime>
#include<cstdlib>
#include<queue>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define maxn 10000
#define maxm 3000000
using namespace std;
typedef long long ll;
int n,m;
inline void qread(int& x){
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
inline void qread(ll& x){
x=0;
int sign=1;
char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9'){
if(c=='-') sign=-1;
c=getchar();
}
while(c>='0'&&c<='9'){
x=x*10+c-'0';
c=getchar();
}
x=x*sign;
}
struct node{
ll x;
ll y;
int c;
}a[maxn+5],b[maxn+5];
inline ll get_dist(node p,node q){
return abs(p.x-q.x)+abs(p.y-q.y);
}
namespace network_flow{
struct edge{
int from;
int to;
int next;
ll flow;
ll cost;
}E[maxm+5];
int head[maxn+5];
int sz=1;
void add_edge(int u,int v,ll w,ll c){
#ifdef DEBUG
// printf("%d->%d vol=%lld cost=%lld
",u,v,w,c);
#endif
c=-c;
sz++;
E[sz].from=u;
E[sz].to=v;
E[sz].flow=w;
E[sz].cost=c;
E[sz].next=head[u];
head[u]=sz;
sz++;
E[sz].from=v;
E[sz].to=u;
E[sz].flow=0;
E[sz].cost=-c;
E[sz].next=head[v];
head[v]=sz;
}
bool inq[maxn+5];
int pre[maxn+5];
ll minf[maxn+5];
ll dist[maxn+5];
bool spfa(int s,int t){
for(int i=s;i<=t;i++){
inq[i]=0;
pre[i]=0;
dist[i]=INF;
minf[i]=INF;
}
queue<int>q;
q.push(s);
inq[s]=1;
dist[s]=0;
while(!q.empty()){
int x=q.front();
q.pop();
inq[x]=0;
for(int i=head[x];i;i=E[i].next){
int y=E[i].to;
if(E[i].flow&&dist[y]>dist[x]+E[i].cost){
dist[y]=dist[x]+E[i].cost;
pre[y]=i;
minf[y]=min(minf[x],E[i].flow);
if(!inq[y]){
q.push(y);
inq[y]=1;
}
}
}
}
return dist[t]!=INF;
}
void update(int s,int t){
int x=t;
while(x!=s){
int i=pre[x];
E[i].flow-=minf[t];
E[i^1].flow+=minf[t];
x=E[i].from;
}
}
ll mcmf(int s,int t){
ll flow=0,cost=0;
while(spfa(s,t)){
flow+=minf[t];
cost+=minf[t]*dist[t];
update(s,t);
}
return -cost;
}
void solve(){
int s=0,t=n*2+5;
int p1=n*2+1,p2=n*2+2,p3=n*2+3,p4=n*2+4;
for(int i=1;i<=n;i++){
add_edge(s,i,a[i].c,0);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
add_edge(i+n,t,b[i].c,0);
}
//绝对值分符号拆成4个，用4个辅助点连边
//因为是最大费用，4种情况取最大值就是绝对值
//这样就把边数从O(n^2)变成O(n)
for(int i=1;i<=n;i++){
//x1-x2+y1-y2
add_edge(i,p1,INF,a[i].x+a[i].y);
add_edge(p1,i+n,INF,-b[i].x-b[i].y);
//x1-x2+y2-y1
add_edge(i,p2,INF,a[i].x-a[i].y);
add_edge(p2,i+n,INF,-b[i].x+b[i].y);
//x2-x1+y1-y2
add_edge(i,p3,INF,-a[i].x+a[i].y);
add_edge(p3,i+n,INF,b[i].x-b[i].y);
//x2-x1+y2-y1
add_edge(i,p4,INF,-a[i].x-a[i].y);
add_edge(p4,i+n,INF,b[i].x+b[i].y);
}
printf("%lld
",mcmf(s,t));
}
}
int main(){
// freopen("1.in","r",stdin);
qread(n);
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(a[i].x);
qread(a[i].y);
qread(a[i].c);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
qread(b[i].x);
qread(b[i].y);
qread(b[i].c);
}
network_flow::solve();
}