POJ 1905 题解(二分+几何)

题面

传送门

分析

如图:已知AB=L,弧AB=L(1+nC)$AB=L,弧AB=L(1+nC)$,M为AB中点,N为圆上一点,且ON垂直于AB于M,求MN
设半径为R$R$,∠AOM=θ$\angle AOM=\theta$(弧度),MN=x$MN=x$
则可列出方程组
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪2Rθ=L(1+nc)(1)Rsinθ=L2(2)x=R(1−cosθ)(3)$\{\begin{array}{l}2R\theta =L\left(1+nc\right)(1)\\ R\sin \theta ={\displaystyle \frac{L}{2}}(2)\\ x=R\left(1-\cos \theta \right)(3)\end{array}$
若求出θ$\theta$便可以求出x,所以我们从 θ$\theta$入手,尝试解上面的方程组
由(1)(2)式得 θsinθ=1+nC${\displaystyle \frac{\theta }{\sin \theta }}=1+nC$
本人数学不好,求不出上面的方程的解析解(如果有解析解可以在评论中指出)
于是采用二分的方法来近似求根
显然0<θ≤π2$0<\theta \le {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$
由图知θ$\theta$越大,1+nC越大$1+nC越大$
我们二分θ$\theta$,设二分中点为mid,端点为[L,R]并计算midsinmid${\displaystyle \frac{mid}{\sin mid}}$,若midsinmid>1+nC${\displaystyle \frac{mid}{\sin mid}}>1+nC$,则寻找更小的,R=mid.否则寻找更大的,L=mid

还有几个细节:
1.π$\pi$一定要很精确,否则会WA
2.设定的二分误差要尽量小

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define eps 1e-11
#define pi 3.141592653589793
using namespace std;
double L,n,C,theta,x;
int main(){
    while(scanf("%lf %lf %lf",&L,&n,&C)!=EOF){
        if(L==n&&n==C&&C==-1) break;
        if(n*C==0){
            printf("0.000
");
            continue;
        } 
        double l=eps,r=pi/2;//用弧度表示角 
        while(fabs(l-r)>eps){
            double mid=(l+r)/2;
            double hu=mid/sin(mid);
            if(hu>1+n*C) r=mid;
            else l=mid;
        }
        theta=l;
        double R=L/(2*sin(theta));
        printf("%.3f
",R*(1-cos(theta)));
    } 
}