Codeforces 601B(贪心+斜率+组合数学+单调栈)

题面

传送门
题目大意:
L（h）的值是区间[L,R]内，abs（h[i]-h[j]）/(i-j)的最大值。现在有q个询问，每个询问表示询问区间[L,R]内，所有子序列的L（h）的值的和

分析

将∣∣∣h[i]−h[j]i−j∣∣∣$\left|{\displaystyle \frac{h\left[i\right]-h\left[j\right]}{i-j}}\right|$想成斜率,显然选相邻的两个数最优,最大的斜率只会存在于相邻两点
所以我们可以预处理所有h[i]-h[i-1]的值,记作d[i]
问题转化为求[L,R]中每个子区间中的最大d[i]之和

朴素算法是枚举所有子区间,时间复杂度O(n2)$O(n^2)$,显然会TLE
因此我们可以计算每个d[i]被算了多少次
具体方法如下:
维护一个单调栈,从左到右依次将d[i]入栈,栈顶元素最小
那么过程中，当区间左端点<=i-1时,区间最大值为弹出栈顶的元素
当区间右端点>=i+1时,区间最大值为新加入进去的元素
所谓x的作用,就是区间端点在a左侧或在b右侧时,区间内的最大值为x,此时便是”有作用”的,因为会被算进结果里
如d={2,5,3,9,8,1}
将5入栈时弹出2,则区间右端点小于等于1时,区间最大值为2
当区间左端点>=2时,区间最大值为5 (当然此时还没有计算出右端点,之后9入栈可以计算出右端点<=3时区间最大值为5)

设lbound[i],rbound[i]表示区间左端点>=lbound[i]且区间右端点<=rbound[i]时区间最大值为d[i],查询区间为[L,R]
则由乘法原理得,d[i]被计算了(i-lbound[i]+1)*(rbound[i]-i+1)次
于是对于每一个i,我们可以O(1)$O(1)$的时间内求出结果

单调栈预处理时间复杂度O(n)$O(n)$,查询时间复杂度为O(nq)$O(nq)$
一些陷阱：

1.数据范围：最后答案要用long long
2.单调栈最后里面元素要出栈,它们的rbound值为n
3.若单调栈为空,新插入的元素的lbound值为1

代码:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack> 
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define maxn 100005 
#define ForMyLove return 0;
using namespace std;
int n,q;
int a[maxn];
int lbound[maxn],rbound[maxn]; 
long long d[maxn];
struct node{
    int pos;
    int value;
    node(){

    }
    node(int i,int x){
        pos=i;
        value=x;
    }
}; 
stack<node>s;
int main(){
    int l,r;
    scanf("%d %d",&n,&q);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++) d[i]=abs(a[i]-a[i-1]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        node now;
        while(!s.empty()){
            now=s.top();
            if(d[i]>now.value){
                rbound[now.pos]=i-1;
                s.pop();
            }else break;
        }
        if(s.size()==0) lbound[i]=1;
        else{
            now=s.top();
            lbound[i]=now.pos+1;
        }
        s.push(node(i,d[i]));
    }
    while(!s.empty()){
        node now=s.top();
        rbound[now.pos]=n;
        s.pop();
    }
    while(q--){
        scanf("%d %d",&l,&r);
        long long ans=0;
        for(int i=l+1;i<=r;i++){
            long long left=max(l+1,lbound[i]);
            long long right=min(r,rbound[i]);
            ans=ans+(i-left+1)*(right-i+1)*d[i];
        }
        printf("%I64d
",ans);
    }
    ForMyLove
}