编程之美：求数组的子数组之和的最大值

1.问题描述

一个有N个整数元素的一维数组( A[0], A[1], ... , A[n-2], A[n-1])，子数组之和的最大值是什么?(要求子数组的元素是连续的)

例子：有数组( -2, 5, 3, -6, 4, -8, 6)，则其子数组之和的最大值为8，其对应的数组为(5,3)

2.分析与解法

解法一：采用直接法，记Sum[i...j]，为数组A中从第i到第j之间所有数之和，算出所有Sum，取其最大，代码如下，时间复杂度O(N²)：

int maxSum1(int *A, int n)
{
    int max = -1;
    int i, j, sum;
    
    for(i = 0; i < n; i++)
    {
          sum = 0;
          for(j = i; j < n; j++)
          {
                sum += A[j];
                if(sum > max )
                       max = sum;
          }
    }
    
    return max;
}

解法二：使用分治法，数组(A[0],A[1],...A(n-1)分为长度相等的两段数组(A[0],...,A[n/2-1])以及(A[n/2],...,A[n-1])，分别求出这两段数组各自的最大子段和，则原数组(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和分为3种情况

1).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和与(A[0],...,A[n/2-1])的相同

2).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和与(A[n/2],...,A[n-1])的相同

3).(A[0],A[1],...A(n-1)的最大子段和跨过(A[0],...,A[n/2-1])与(A[n/2],...,A[n-1])-

1)和2)可以根据递归可得，3)只要计算出以A[n/2-1]为结尾的一段数组最大和s1=Sum1[i...n/2-1]和A[n/2]为开头一段数组最大和s2=Sum2[n/2...j]，最后s=s1+s2.

这个算法满足分值算法递归，总的时间复杂度O(N*log₂N)

解法三：假设我们已经知道(A[k].....A[n-1])最大的一段数组和为All[k]，并且已经计算出在(A[k].....A[n-1])中包含A[k]的最大的一段数组和为Start[k]，那么可以推断出All[k-1]=max{A[k-1]，A[k-1]+Start[k]，All[k]}，利用动态规划思想以及这样的递推公式，从后往前计算，代码如下,时间复杂度O(N)：

int max(int x, int y)
{
    return (x > y) ? x : y;
}

int maxSum2(int *A, int n)
{
    int i;
    int All[n], Start[n];
    
    All[n-1] = A[n-1];
    Start[n-1] = A[n-1];
    
    for(i = n-2; i >= 0; i--)
    {
          Start[i] = max(A[i], A[i]+Start[i+1]);
          All[i] = max(All[i+1], Start[i]);
    }
    
    return All[0];    
}

 
对以上代码进行简化，因为最后所求到的变量只有Start[0]和All[0]，这样可以反复用nStart和nAll，省略掉其他的变量，代码如下：

int max(int x, int y)
{
    return (x > y) ? x : y;
}

int maxSum2_v(int *A, int n)
{
    int i;
    int nAll, nStart;
    
    nAll = A[n-1];
    nStart = A[n-1];
    
    for(i = n-2; i >= 0; i--)
    {
          nStart = max(A[i], A[i]+nStart);
          nAll = max(nAll, nStart);
    }
    
    return nAll;    
}

注：以上的计算顺序也可以从前往后，即：All[k+1]=max{A[k+1]，A[k+1]+Start[k]，All[k]}.