第四章 分治策略

归并排序利用了分治策略。在分治策略中，我们递归地求解一个问题，在每层递归中应用如下三个步骤：

• 分解：将问题划分为一些子问题，子问题的形式和原问题一样，只是规模更小。
• 解决：递归地求解出子问题，如果子问题的规模足够小，则停止递归，直接求解。
• 合并：将子问题的解组合成原问题的解。

当子问题足够大，需要递归求解时，我们称之为递归情况。当子问题变得足够小时，不再需要递归，我们说递归已经触底，进入了基本情况。有时，除了与原问题形式完全一样的规模更小的子问题外，还需要求解与原问题不一样的子问题。我们将这些子问题的求解看作合并步骤的一部分。

 

最大子数组问题

假定我们要寻找数组 A[ p , r ] 的最大子数组。 A[ p , r ] 的任何连续子数组  A[ i , j ] 所处的位置必然是以下三种情况：

我们可以递归地求解 A[ p , q ] 和 A[ q+1 , r ] 的最大子数组，因为这两个子问题仍是最大子数组问题，用另一种方法寻找跨越中点的最大子数组，然后在三种情况中选取和最大者。

代码示例

template<class T>
struct subArray{//子数组结构体
    int left, right;
    T sum;
};

//寻找跨越中点的最大子数组
template<class T>
subArray<T> FindMaxCrossingSubArray(T a[], int p, int q, int r) {
    T leftSum = min, rightSum = min;
    T sum = 0;
    int leftI = -1, rightI = -1;
    for (int i = q; i >= p; i--) {
        sum += a[i];
        if (sum > leftSum) {
            leftSum = sum;
            leftI = i;
        }
    }

    sum = 0;
    for (int i = q + 1; i <= r; i++) {
        sum += a[i];
        if (sum > rightSum) {
            rightSum = sum;
            rightI = i;
        }
    }

    subArray<T> result;
    result.left = leftI; 
    result.right = rightI; 
    result.sum = leftSum + rightSum;
    return result;
}

//寻找最大子数组
template<class T>
subArray<T> FindMaxSubArray(T a[], int p, int r) {
    subArray<T> result;
    if (p == r) {//只有一个元素
        result.left = p; 
        result.right = r; 
        result.sum = a[p];
        return result;
    }

    int q = (p + r) / 2;
    subArray<T> leftArray, rightArray, crossArray;
    leftArray = FindMaxSubArray(a, p, q);//寻找最大左子数组
    rightArray = FindMaxSubArray(a, q + 1, r);//寻找最大右子数组
    crossArray = FindMaxCrossingSubArray(a, p, q, r);//寻找跨越中点的最大子数组

    //三种情况中选取最大值
    if (leftArray.sum > rightArray.sum&&leftArray.sum > crossArray.sum) {
        result.left = leftArray.left; 
        result.right = leftArray.right; 
        result.sum = leftArray.sum;
    }
    else if (rightArray.sum > leftArray.sum&&rightArray.sum > crossArray.sum) {
        result.left = rightArray.left;
        result.right = rightArray.right;
        result.sum = rightArray.sum;
    }
    else if (crossArray.sum > leftArray.sum&&crossArray.sum > rightArray.sum) {
        result.left = crossArray.left;
        result.right = crossArray.right;
        result.sum = crossArray.sum;
    }
    return result;
}