3. 零向量
- 零向量不等于一个带你，因为零向量没有定义某个位置。
- 零向量表示的是 “没有位移”，就像标量零表示的是 “没有数量” 一样
4.负向量
- 几何解释：向量变负，将得到一个和原向量大小相等，方向相反的向量
5.向量大小（长度或模）
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公式：
[||v||=sqrt{(v_x^2+v_y^2)}(对2D向量v) ][||v||=sqrt{(v_x^2+v_y^2+v_z^2)}(对3D向量v) ] -
几何解释：对 2D 向量 v ，能构造一个以 (v) 为斜边的直角三角形，直角边的长度分别为分量 (v_x) ,(v_y) 的绝对值，斜边长度即为向量 (v) 的大小
6. 标量和向量的乘法
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注意点
- 标量和向量的乘法和除法优先级高于加法和减法，例如，(3a+b) 是 ((3a)+b) ，而不是 (3(a+b))
- 标量不能除以向量，并且向量不能除以另一个向量
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几何解释
- 几何意义上，向量乘以标量 k 的效果是以因子 (|k|) 缩放向量的长度
7.标准化向量
- 应用背景：对于许多向量，只关心它的方向而不关心它的大小，例如，“我面向的是什么方向？”，在这样的情况下，使用单位向量将非常方便
- 几何解释
- 2D 环境中，如果以原点为尾画一个单位向量，那么向量的头将接触到圆心在原点的单位圆，在 3D 环境中，单位向量将接触到单位球
8.向量的加法和减法
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注意点
- 向量不能和标量或维数不同的向量相加减
- 和标量加法一样，向量加法满足交换律，但向量减法不满足交换律：永远有 (a+b=b+a) ，但 (a-b=-(b-a)) ，仅当 (a=b) 时，(a-b=b-a)
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几何解释
- 向量 a 和 b 相加的几何解释为：平移向量，使向量 a 的头连接向量 b 的尾，接着从 a 的尾向 b 的头画一个向量，即向量加法的 “三角形法则”
- “三角形法则” 可以解释之前提到的：向量能被解释为与轴平行的位移序列。例如，向量 [1,-3,4] 为什么可以被解释为位移序列：向右1个单元，向下3个单元，向前4个单元
[left[egin{array}{c}1 \-3 \4end{array} ight]=left[egin{array}{l}1 \0 \0end{array} ight]+left[egin{array}{c}0 \-3 \0end{array} ight]+left[egin{array}{l}0 \0 \4end{array} ight] ]
10.向量点乘
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向量点乘就是对应分量乘积的和，其结果是一个标量
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点乘满足交换律：(a cdot b = b cdot a)
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几何解释
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点乘等于向量大小与向量夹角的 cos 值的积：(a cdot b=||a|| ||b|| cos heta)
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两向量的夹角：( heta=arccos(frac{acdot b}{||a||||b||}))
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点乘的结果描述了两个向量的 “相似” 程度，点乘结果越大，两向量越相近
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点乘结果的符号可大致确定 ( heta) 的类型
a·b Θ 角度 a 和 b >0 0°≤Θ<90° 方向基本相同 0 Θ≤90° 正交 <0 90°＜Θ≤180° 方向基本相反 
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向量投影
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给定两个向量 (v) 和 (n)，能将 (v) 分解为两个分量：(v_{|}) 和 (v_{perp}) 。它们分别平行于和垂直于 (n)，并满足 (v=v_{perp}+v_{|})。称平行分量 (v_{|}) 为 (v) 在 (n) 上的投影
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使用点乘计算投影，几何解释：
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(mathbf{v}_{|}=mathbf{n} frac{left|mathbf{v}_{mathrm{u}} ight|}{|mathbf{n}|})
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(egin{aligned} &cos heta=frac{left|mathbf{v}_{|} ight|}{|mathbf{v}|}\ &cos heta|mathbf{v}|=left|mathbf{v}_{mathrm{|}} ight| end{aligned})
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所以：
(egin{aligned} mathbf{v}_{|} &=mathbf{n} frac{|mathbf{v}| cos heta}{|mathbf{n}|} \ &=mathbf{n} frac{|mathbf{v}||mathbf{n}| cos heta}{|mathbf{n}|^{2}} \ &=mathbf{n} frac{mathbf{v} cdot mathbf{n}}{|mathbf{n}|^{2}} end{aligned})
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11.向量叉乘
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叉乘仅可用于 3D 向量，叉乘得到一个向量，并且不满足交换律
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计算公式
[left[egin{array}{l} x_{1} \ y_{1} \ z_{1} end{array} ight] imesleft[egin{array}{l} x_{2} \ y_{2} \ z_{2} end{array} ight]=left[egin{array}{l} y_{1} z_{2}-z_{1} y_{2} \ z_{1} x_{2}-x_{1} z_{2} \ x_{1} y_{2}-y_{1} x_{2} end{array} ight] ] -
几何解释
- 叉乘得到的向量垂直于原来的两个向量
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(mathbf{a} imes mathbf{b}) 的方向判断
- (mathbf{a} imes mathbf{b}) 垂直于 (mathbf{a}) 、(mathbf{b}) ，但垂直于 (mathbf{a}) 、(mathbf{b}) 有两个方向
- 判断方法：右手螺旋定则：
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叉乘的应用：创建垂直于屏幕、三角形或多边形的向量