8.23 校内模拟赛 题解报告

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• 8.23 校内模拟赛 题解报告
  • 扯
  • 得分情况
  • 题解
    • T1 Count
    • T2 Color
    • T3 Sequence

8.23 校内模拟赛 题解报告

扯

花式白给

T1 SB 数论题 苟比结论题 不过我过了(笑

T2 鬼畜构造题 完全木有想到 暴力骗分苟命

T3 神仙二分题 压根不会 (O(n^2)) 苟命

大概这场考试就是这样...

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关于考试过程以及一些题外话

这次考试是从 T3 开的... 于是就把人玩没了

看题 嗯 10 分 (O(n^2)) 送的

看题 嗯 好像就会 10 分的亚子

看题 嗯 确实就会 10 分的亚子

划拉了半张打草纸之后...

看题 嗯...

然后就把那十分写了滚蛋了

回去老老实实看 T1

看题 嗯 这啥啊

看题 嗯 好像能做

看题 嗯 好像确实能做

在纸上划拉了一会...

看题 嗯 SB 题

虽然 BS 这个题的代码写的很 SB 但是确实是把大样例过掉了

去骗 T2

先拿了那十分的暴力 然后写掉二十分的构造 然后就没有然后了...

看题 好像不太可做的亚子

于是死磕 T3 嗝屁了

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结束以后 由于老吕没来

SB 的 BS 对着电脑捣鼓了半个小时 依旧没把评测的东西弄好 然后评测一直拖到了下午...

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得分情况

100 + 30 + 10 = 140

虽然 T1 的代码很诡异 但是还是过掉了

T2 和 T3 的暴力都没挂骗到了四十 大概也就是 T1 的水平了...

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题解

T1 Count

要结论的话很简单

枚举 ([1, p)) 范围内的所有数 (i) 记录 (i^2 equiv 1 pmod p) 的数的数量

答案: (ans = left lfloor frac {varphi(p) - cnt}2 ight floor + cnt)

Q: 为什么

A:

题目要求满足

[xy equiv 1 pmod p ]

的无序二元组个数

看一下上面那个东西 大概就能看出来了 就是个逆元

这里的 (p) 不一定是质数 所以逆元不一定存在 当 (a ot p) 时 (a) 存在模 (p) 意义下的逆元且逆元唯一

所以这个题就相当于求与 (p) 互质的数的个数 显然就是 (varphi(p)) 了

但是题目里要求的无序二元组 而每一个与 (p) 互质的 (x) 都对应着一个 (y) 当 (x e y) 的时候就会算重 所以这就是上面统计平方模 (p) 为 (1) 的数的个数的原因了

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求那个 (varphi) 的时候 以为只能用素数去筛 于是就先把素数筛出来再用素数筛 (varphi) 忘记可以直接 (sqrt n) 求了...

于是就写了一个线筛筛素数不晒 (varphi) 函数 筛完素数 拿着筛出来的素数又把 (varphi) 求了一遍的诡异代码

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代码

/*
  Source: count
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define int long long
#define pt putchar(' ')
#define pn putchar('
')
#define Abs(x) ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define Max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define Min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define Swap(x, y) ((x) ^= (y) ^= (x) ^= (y))
/*----------------------------------------------------------*/
const int A = 1e4 + 7;
const int B = 1e5 + 7;
const int C = 1e6 + 7;
const int D = 5e7 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
/*----------------------------------------------------------*/
inline void File() {
	freopen("count.in", "r", stdin);
	freopen("count.out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------------------------*/
int p, prime[C << 2], cnt, kcnt, Phi;
bool vis[D];
/*----------------------------------------------------------*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
void Print(int x) {if(x < 0) putchar('-'), x = -x; if(x > 9) Print(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------------------------*/
int power(int x, int y) {int res = 1; for(; y; x = x * x % p, y >>= 1) if(y & 1) res = res * x % p; return res;}
void exgcd(int a, int b, int &d, int &x, int &y)
{
	if(b) exgcd(b, a % b, d, y, x), y -= x * (a / b);
	else d = a, x = 1, y = 0;
}
void pre() {
	for(int i = 2; i ^ p + 1; i++)
	{
		if(!vis[i]) prime[++cnt] = i;
		for(int j = 1; j ^ cnt + 1 && i * prime[j] <= p; j++)
		{
			vis[i * prime[j]] = 1;
			if(!(i % prime[j])) break;
		}
	}
}
void Main() {
	File();
	Phi = p = read(); pre();
	for(int i = 1; i ^ p; i++) if(i * i % p == 1) kcnt++;
	for(int i = 1; i ^ cnt + 1 && prime[i] * prime[i] <= p; i++) if(!(p % prime[i]))
	{
		Phi = Phi / prime[i] * (prime[i] - 1);
		while(!(p % prime[i])) p /= prime[i];
	}
	if(p > 1) Phi = Phi / p * (p - 1);
	Print((Phi - kcnt >> 1) + kcnt);
}
/*----------------------------------------------------------*/
signed main() {Main(); return 0;}

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T2 Color

暴力挺好写的 直接给结论吧

对于 (x) 坐标相同的点 将这些点两两配对 如果剩下点则不管 然后每对点之间连边

对于 (y) 坐标相同的点 将这些点两两配对 如果剩下点则不管 然后每对点之间连边

对建成的图进行染色 能染出来就表示可行 方案也就有了

Q: 为什么

A: 不清楚 意会一下大概是可行的

Q: 能过吗

A: 能过 而且跑挺快的

Q: 有不合法的情况吗

A: 不知道 但是没有判确实过了

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代码

/*
  Source: CF547D Mike and Fish
*/
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define pt putchar(' ')
#define pn putchar('
')
#define Abs(x) ((x) < 0 ? -(x) : (x))
#define Max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define Min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
#define Swap(x, y) ((x) ^= (y) ^= (x) ^= (y))
/*----------------------------------------------------------*/
const int A = 1e4 + 7;
const int B = 2e5 + 7;
const int C = 1e6 + 7;
const int D = 1e7 + 7;
const int mod = 1e9 + 7;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
/*----------------------------------------------------------*/
inline void File() {
	freopen(".in", "r", stdin);
	freopen(".out", "w", stdout);
}
/*----------------------------------------------------------*/
int n, col[B], lc[B], lr[B];
struct edge {int v, nxt;} e[B << 2];
int head[B], ecnt;
/*----------------------------------------------------------*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
void Print(int x) {if(x < 0) putchar('-'), x = -x; if(x > 9) Print(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------------------------*/
void add_edge(int u, int v) {e[++ecnt] = (edge){v, head[u]}; head[u] = ecnt;}
void dfs(int u, int c) {
	col[u] = c;
	for(int i = head[u]; i; i = e[i].nxt) if(!~col[e[i].v]) dfs(e[i].v, c ^ 1);
}
void Main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i ^ n + 1; i++)
	{
		int x = read(), y = read(); col[i] = -1;
		if(lr[x]) add_edge(lr[x], i), add_edge(i, lr[x]), lr[x] = 0; else lr[x] = i;
		if(lc[y]) add_edge(lc[y], i), add_edge(i, lc[y]), lc[y] = 0; else lc[y] = i;
	}
	for(int i = 1; i ^ n + 1; i++) if(!~col[i]) dfs(i, 0);
	for(int i = 1; i ^ n + 1; i++) putchar(col[i] ? 'r' : 'b');
}
/*----------------------------------------------------------*/
signed main() {Main(); return 0;}

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据说正解是欧拉回路什么的...

然鹅并不会

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T3 Sequence

神仙分治题

由于过于麻烦 这里直接说做法了

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取 (mid = left lfloor frac {l + r}2 ight floor) 对左边维护后缀最大值记为 (max) 后缀最小值记为 (min) 右边维护前缀最大值(max) 前缀最小值(min) 前缀最大值的前缀和(summax) 前缀最小值的前缀和(summin) 前缀最大值与最小值的乘积和(summul)

枚举左侧每个位置 对每个 (i) 找到第一个位置 (tmp1) 使 (min_{tmp1} leq min_i) 且 (min_{tmp1 - 1} > min_i) 同时找到第一个位置 (tmp2) 使 (max_{tmp2} geq max_i) 且 (max_{tmp2 - 1} < max_i) 将右边的区间分为三段 利用上面维护的各种东西就可以 (O(1)) 的算出右端点在右边区间内的价值和

递归处理左右两部分

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各种边界细节问题极其鬼畜

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代码

/*
  Source: T196991 Sequence
*/
#include<cstdio>
#define int long long
#define Max(x, y) ((x) > (y) ? (x) : (y))
#define Min(x, y) ((x) < (y) ? (x) : (y))
/*----------------------------------------------------------*/
const int B = 5e5 + 7;
const int mod = 998244353;
/*----------------------------------------------------------*/
int n, a[B], min[B], max[B], summin[B], summax[B], summul[B], ans;
/*----------------------------------------------------------*/
inline int read() {
	int x = 0, f = 1; char ch = getchar();
	while(ch < '0' || ch > '9') {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
	while(ch >= '0' && ch <= '9') {x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return x * f;
}
void Print(int x) {if(x < 0) putchar('-'), x = -x; if(x > 9) Print(x / 10); putchar(x % 10 ^ 48);}
/*----------------------------------------------------------*/
void solve(int L, int R) {
	if(L == R) {ans = (ans + a[L] * a[L] % mod) % mod; return ;}
	int Mid = L + R >> 1;
	min[Mid] = max[Mid] = a[Mid]; min[Mid + 1] = max[Mid + 1] = a[Mid + 1];
	summin[Mid] = summax[Mid] = summul[Mid] = 0;
	summin[Mid + 1] = summax[Mid + 1] = a[Mid + 1]; summul[Mid + 1] = a[Mid + 1] * a[Mid + 1] % mod;
	for(int i = Mid - 1; i >= L; i--)
		min[i] = Min(min[i + 1], a[i]), max[i] = Max(max[i + 1], a[i]);
	for(int i = Mid + 2; i <= R; i++)
		min[i] = Min(min[i - 1], a[i]), summin[i] = (summin[i - 1] + min[i]) % mod,
		max[i] = Max(max[i - 1], a[i]), summax[i] = (summax[i - 1] + max[i]) % mod,
		summul[i] = (summul[i - 1] + min[i] * max[i] % mod) % mod;
	for(int i = Mid, tmp1 = Mid + 1, tmp2 = Mid + 1; i >= L; i--)
	{
		while(tmp1 <= R && min[tmp1] > min[i]) tmp1++;
		while(tmp2 <= R && max[tmp2] < max[i]) tmp2++;
		int x = Min(tmp1, tmp2), y = Max(tmp1, tmp2);
		ans = (ans + (x - 1 - Mid) * min[i] % mod * max[i] % mod) % mod;
		if(tmp1 < tmp2) ans = (ans + (summin[tmp2 - 1] - summin[tmp1 - 1]) % mod * max[i] % mod) % mod;
		if(tmp1 > tmp2) ans = (ans + (summax[tmp1 - 1] - summax[tmp2 - 1]) % mod * min[i] % mod) % mod;
		ans = ((ans + summul[R] - summul[y - 1]) % mod + mod) % mod;
	}
	solve(L, Mid); solve(Mid + 1, R);
}
void Main() {
	n = read();
	for(int i = 1; i ^ n + 1; i++) a[i] = read();
	solve(1, n);
	Print(ans);
}
/*----------------------------------------------------------*/
signed main() {Main(); return 0;}