HDOJ 4549 M斐波那契数列 费马小定理+矩阵高速幂

MF( i ) = a ^ fib( i-1 ) * b ^ fib ( i )   ( i>=3)

mod 1000000007 是质数 , 依据费马小定理  a^phi( p ) = 1 ( mod p )  这里 p 为质数 且 a 比 p小 所以 a^( p - 1 ) = 1 ( mod p )

所以对非常大的指数能够化简  a ^ k % p  == a ^ ( k %(p-1) ) % p

用矩阵高速幂求fib数后代入就可以

M斐波那契数列

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Problem Description

M斐波那契数列F[n]是一种整数数列，它的定义例如以下：

F[0] = a
F[1] = b
F[n] = F[n-1] * F[n-2] ( n > 1 )

如今给出a, b, n，你能求出F[n]的值吗？

 

Input

输入包括多组測试数据；
每组数据占一行，包括3个整数a, b, n（ 0 <= a, b, n <= 10^9 ）

 

Output

对每组測试数据请输出一个整数F[n]。因为F[n]可能非常大，你仅仅需输出F[n]对1000000007取模后的值就可以，每组数据输出一行。

 

Sample Input

0 1 0
6 10 2

 

Sample Output

0
60

 

Source

2013金山西山居创意游戏程序挑战赛——初赛（2）

 

/* ***********************************************
Author        :CKboss
Created Time  :2015年03月12日 星期四 22时44分35秒
File Name     :HDOJ4549.cpp
************************************************ */

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>

using namespace std;

typedef long long int LL;

const LL mod=1000000007LL;
const LL md=1000000006LL;

/// getfib
LL a,b,n;

struct Matrix
{
	Matrix(LL a=0,LL b=0,LL c=0,LL d=0)
	{
		m[0][0]=a; m[0][1]=b;
		m[1][0]=c; m[1][1]=d;
	}
	LL m[2][2];
};

Matrix MUI(Matrix& a,Matrix& b)
{
	Matrix ret;
	ret.m[0][0]=((a.m[0][0]*b.m[0][0])%md+(a.m[0][1]*b.m[1][0])%md)%md;
	ret.m[0][1]=((a.m[0][0]*b.m[0][1])%md+(a.m[0][1]*b.m[1][1])%md)%md;
	ret.m[1][0]=((a.m[1][0]*b.m[0][0])%md+(a.m[1][1]*b.m[1][0])%md)%md;
	ret.m[1][1]=((a.m[1][0]*b.m[0][1])%md+(a.m[1][1]*b.m[1][1])%md)%md;
	return ret;
}

Matrix QUICKPOW(LL m)
{
	Matrix E(1,0,0,1);
	Matrix A(1,1,1,0);
	while(m)
	{
		if(m&1LL) E=MUI(E,A);
		A=MUI(A,A);
		m/=2LL;
	}
	return E;
}

void showMat(Matrix M)
{
	cout<<endl;
	for(int i=0;i<2;i++)
	{
		for(int j=0;j<2;j++)
			cout<<M.m[i][j]<<",";
		cout<<endl;
	}
	cout<<endl;
}

/// get p_th fib number
LL getfib(LL p) 
{
	p--;
	Matrix M1=QUICKPOW(p);
	return M1.m[0][0];
}

LL QUICKPOW2(LL a,LL x)
{
	LL e=1LL;
	while(x)
	{
		if(x&1LL) e=(e*a)%mod;
		a=(a*a)%mod;
		x/=2LL;
	}
	return e;
}

LL solve()
{
	if(n==0) return a;
	else if(n==1) return b;
	else if(n==2) return (a*b)%mod;

	///a的fib系数 -> fib(n-1)
	LL xa = getfib(n-1);
	LL partA = QUICKPOW2(a,xa);

	///b的fib系数 -> fib(i)
	LL xb = getfib(n);
	LL partB = QUICKPOW2(b,xb);

	return (partA*partB)%mod;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    //freopen("out.txt","w",stdout);

	while(cin>>a>>b>>n)
		cout<<solve()<<endl;
    
    return 0;
}