二叉查找树具有非常高的灵活性。对其优化能够生成平衡二叉树。红黑树等高效的查找和插入数据结构。后文会一一介绍。
一 定义
二叉查找树（Binary Search Tree），也称有序二叉树（ordered binary tree）,排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
1. 若随意节点的左子树不空，则左子树上全部结点的值均小于它的根结点的值。
2. 若随意节点的右子树不空。则右子树上全部结点的值均大于它的根结点的值；
3. 随意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
4. 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
例如以下图，这个是普通的二叉树：
在此基础上。加上节点之间的大小关系，就是二叉查找树：
二 实现
在实现中，我们须要定义一个内部类Node。它包括两个分别指向左右节点的Node，一个用于排序的Key，以及该节点包括的值Value，另一个记录该节点及全部子节点个数的值Number。
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public
class
BinarySearchTreeSymbolTable<TKey, TValue> : SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TValue>{ private
Node root; private
class
Node { public
Node Left { get;
set;
} public
Node Right { get;
set;
} public
int
Number
{ get;
set;
} public
TKey Key { get;
set;
} public
TValue Value { get;
set;
} public
Node(TKey key, TValue value, int
number) { this.Key
= key; this.Value
= value; this.Number
= number; } }...} |
查找
查找操作和二分查找类似，将key和节点的key比較，假设小于，那么就在Left Node节点查找,假设大于，则在Right Node节点查找，假设相等，直接返回Value。
该方法实现有迭代和递归两种。
递归的方式实现例如以下：
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public
override
TValue Get(TKey key){ TValue
result = default(TValue); Node
node = root; while
(node != null) { if
(key.CompareTo(node.Key) > 0) { node
= node.Right; } else
if
(key.CompareTo(node.Key) < 0) { node
= node.Left; } else { result
= node.Value; break; } } return
result;} |
迭代的例如以下：
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public
TValue Get(TKey key){ return
GetValue(root, key);}private
TValue GetValue(Node root, TKey key){ if
(root == null)
return
default(TValue); int
cmp = key.CompareTo(root.Key); if
(cmp > 0)
return
GetValue(root.Right, key); else
if
(cmp < 0)
return
GetValue(root.Left, key); else
return
root.Value;} |
插入
插入和查找类似，首先查找有没有和key同样的。假设有。更新；假设没有找到，那么创建新的节点。并更新每一个节点的Number值，代码实现例如以下：
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public
override
void
Put(TKey key, TValue value){ root
= Put(root, key, value);}private
Node Put(Node x, TKey key, TValue value){ //假设节点为空，则创建新的节点，并返回 //否则比較依据大小推断是左节点还是右节点。然后继续查找左子树还是右子树 //同一时候更新节点的Number的值 if
(x == null)
return
new
Node(key, value, 1); int
cmp = key.CompareTo(x.Key); if
(cmp < 0)
x.Left = Put(x.Left, key, value); else
if
(cmp > 0)
x.Right = Put(x.Right, key, value); else
x.Value = value; x.Number
= Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return
x;}private
int
Size(Node node){ if
(node == null)
return
0; else
return
node.Number;} |
插入操作图演示样例如以下：
以下是插入动画效果：
随机插入形成树的动画例如以下，可以看到，插入的时候树还是可以保持近似平衡状态：
最大最小值
例如以下图能够看出，二叉查找树的最大最小值是有规律的：
从图中能够看出，二叉查找树中，最左和最右节点即为最小值和最大值，所以我们仅仅需迭代调用就可以。
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public
override
TKey GetMax(){ TKey
maxItem = default(TKey); Node
s = root; while
(s.Right != null) { s
= s.Right; } maxItem
= s.Key; return
maxItem;}public
override
TKey GetMin(){ TKey
minItem = default(TKey); Node
s = root; while
(s.Left != null) { s
= s.Left; } minItem
= s.Key; return
minItem;} |
下面是递归的版本号：
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public
TKey GetMaxRecursive(){ return
GetMaxRecursive(root);}private
TKey GetMaxRecursive(Node root){ if
(root.Right == null)
return
root.Key; return
GetMaxRecursive(root.Right);}public
TKey GetMinRecursive(){ return
GetMinRecursive(root);}private
TKey GetMinRecursive(Node root){ if
(root.Left == null)
return
root.Key; return
GetMinRecursive(root.Left);} |
Floor和Ceiling
查找Floor(key)的值就是全部<=key的最大值，相反查找Ceiling的值就是全部>=key的最小值。下图是Floor函数的查找示意图：
以查找Floor为例。我们首先将key和root元素比較，假设key比root的key小，则floor值一定在左子树上；假设比root的key大，则有可能在右子树上。当且仅当其右子树有一个节点的key值要小于等于该key；假设和root的key相等，则floor值就是key。依据以上分析，Floor方法的代码例如以下。Ceiling方法的代码类似。仅仅须要把符号换一下就可以：
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public
TKey Floor(TKey key){ Node
x = Floor(root, key); if
(x != null)
return
x.Key; else
return
default(TKey);}private
Node Floor(Node x, TKey key){ if
(x == null)
return
null; int
cmp = key.CompareTo(x.Key); if
(cmp == 0)
return
x; if
(cmp < 0)
return
Floor(x.Left, key); else { Node
right = Floor(x.Right, key); if
(right == null)
return
x; else
return
right; }} |
删除
删除元素操作在二叉树的操作中应该是比較复杂的。首先来看下比較简单的删除最大最小值得方法。
以删除最小值为例，我们首先找到最小值，及最左边左子树为空的节点，然后返回其右子树作为新的左子树。操作示意图例如以下：
代码实现例如以下：
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public
void
DelMin(){ root
= DelMin(root);}private
Node DelMin(Node root){ if
(root.Left == null)
return
root.Right; root.Left
= DelMin(root.Left); root.Number
= Size(root.Left) + Size(root.Right) + 1; return
root;} |
删除最大值也是类似。
如今来分析普通情况，假定我们要删除指定key的某一个节点。这个问题的难点在于：删除最大最小值的操作，删除的节点仅仅有1个子节点或者没有子节点，这样比較简单。可是假设删除随意节点，就有可能出现删除的节点有0个。1 个，2个子节点的情况，如今来逐一分析。
当删除的节点没有子节点时。直接将该父节点指向该节点的link设置为null。
当删除的节点仅仅有1个子节点时。将该自己点替换为要删除的节点就可以。
当删除的节点有2个子节点时，问题就变复杂了。
如果我们删除的节点t具有两个子节点。由于t具有右子节点，所以我们须要找到其右子节点中的最小节点，替换t节点的位置。
这里有四个步骤：
1. 保存带删除的节点到暂时变量t
2. 将t的右节点的最小节点min(t.right)保存到暂时节点x
3. 将x的右节点设置为deleteMin(t.right)，该右节点是删除后，全部比x.key最大的节点。
4. 将x的做节点设置为t的左节点。
整个步骤例如以下图：
相应代码例如以下：
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public
void
Delete(TKey key){ root
=Delete(root, key); }private
Node Delete(Node x, TKey key){ int
cmp = key.CompareTo(x.Key); if
(cmp > 0)
x.Right = Delete(x.Right, key); else
if
(cmp < 0)
x.Left = Delete(x.Left, key); else { if
(x.Left == null)
return
x.Right; else
if
(x.Right == null)
return
x.Left; else { Node
t = x; x
= GetMinNode(t.Right); x.Right
= DelMin(t.Right); x.Left
= t.Left; } } x.Number
= Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return
x;}private
Node GetMinNode(Node x){ if
(x.Left == null)
return
x; else
return
GetMinNode(x.Left); } |
以上二叉查找树的删除节点的算法不是完美的，由于随着删除的进行，二叉树会变得不太平衡。以下是动画演示。
三 分析
二叉查找树的执行时间和树的形状有关，树的形状又和插入元素的顺序有关。在最好的情况下，节点全然平衡，从根节点到最底层叶子节点仅仅有lgN个节点。在最差的情况下。根节点到最底层叶子节点会有N各节点。在普通情况下，树的形状和最好的情况接近。
在分析二叉查找树的时候。我们一般会如果插入的元素顺序是随机的。
对BST的分析类似与高速排序中的查找：
BST中位于顶部的元素就是高速排序中的第一个划分的元素，该元素左边的元素所有小于该元素，右边的元素均大于该元素。
对于N个不同元素，随机插入的二叉查找树来说，其平均查找/插入的时间复杂度大约为2lnN，这个和高速排序的分析一样。详细的证明方法不再赘述，參照高速排序。
四 总结
有了前篇文章 二分查找的分析。对二叉查找树的理解应该比較easy。以下是二叉查找树的时间复杂度：
它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为lgN，可是在最坏的情况下仍然会有N的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是后面要讲的平衡查找树的内容了。下文首先解说平衡查找树的最简单的一种：2-3查找树。
希望本文对您了解二叉查找树有所帮助。