有限长信号DFT结果的频谱泄露
提出问题
- 依照我们在“信号与系统”这门课建立的印象，不管如何频率的连续正弦信号，其频谱应当是两根笔直的谱线（含负频率）
- 但是，当我们把一段正弦信号採样之后的数据拿去做DFT之后DFT的结果总是两根笔直的谱线么？
- 假设不总是。那么为什么有时候是，有时候又不是呢？
Case1: 信号採样长度64点，採样率32kHz，正弦频率1kHz
这时信号採样包括了整数个（2个）周期的正弦信号。
此时DFT的结果和我们想象中的连续时间域的频谱是很类似的
Case2: 正弦信号频率1.1kHz,採样率32kHz,数据长度 64,
此时包括 64/(32kHz/1.1kHz) = 2.2个周期的样点
Case3: 正弦信号频率1kHz,採样率32kHz，
数据长度 60点此时包括 60/(32kHz/1kHz) = 1.875个周期的样点
仿真分析
通过改动仿真的參数，我们惊奇的发现， 相同是单一频率的正弦波。直接用DFT进行频谱分析的结果却大不一样。不知道您是否感到吃惊。多年前我第一次自己做实验得到这个结论的时候。实在是感到很吃惊。由此我们能够看到“直接对信号进行DFT来分析频谱” 这样的分析方式的结果的准确性波动太大。比方以上的结果中，在CASE1中的结果很之好，好的接近理想程度了，现实世界中的电子热运动噪声才－180dB，案例1中的噪声被压制到了－300dB下面。已经很满足project上面的測量需求了。
由此，我们開始思考。对一个连续时间信号进行採样。对信号的有限长样点进行DFT的结果，并不总是和该信号在连续时间域的频谱一致，从上面的实验能够看出，似乎仅仅要是有限长採样中包括了整数个周期的信号样点。DFT的结果就和连续域频谱很一致。
然而这为我们带来新的问题。当我们要分析一个有限带宽信号的频谱成分时。我们是不可能让有限长的信号採样里恰好包括了全部频率成分的整数个周期。
尤其是当这个信号的频率成分很丰富的时候。接下来我们要做两件事情：
分析一下。为什么非整数个周期的信号採样的DFT结果会“走样”
如何才干让非整数个周期的信号採样的DFT结果和信号在连续时间域的频谱尽量的“类似”，假设的确存在某种方法，那么这样的方法是有代价的么？
（待续）
參考资料：基于DFT的谱分析 - ECDAV