Luogu P1313 计算系数

思路

在数据范围中已经给出了提示。即保证$N+M = K$

第一眼就知道要用二项式定理啊

二项式定理 

先普及一下二项式定理，其实就是$(x+y)^n$的展开式，形式如下：

$$large{(x+y)^n = {0choose n} imes x^n+{{1}choose {n-1}} imes x^{n-1}y+···+{{n-1}choose n} imes xy^{n-1}{nchoose n} imes y^{n}}$$

继续分析思路

这题还有个不一样的地方就是，他并不是$x+y$而是$ax+by$。不过也没关系。$a$和$b$并不会影响。只是多了两步操作。

大家都知道幂运算遵循$(xy)^n = x^ny^n$，那么我们只需要将$a$和$b$的幂提出来就行了。

将$ax$和$by$看做两个整体。那么$(ax)^n$就变成了$a^nx^n$，$(by)^m$就变成了$b^my^m$。再结合二项式定理，那所要求的的系数就变成了$(a^n imes b^m) imes {nchoose k}$。

坑点

• 不要忘记取模
• 不要忘记开$longlong$
• $a$和$b$在输入的时候会很大所以先模一遍
• 要用快速幂哦

代码

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#define LL long long

const LL Mod = 10007;
const LL maxn = 1003;

using namespace std;

LL c[maxn][maxn], a, b, k, n, m, Ans;

inline LL Qpow(LL x, LL y) {
    LL ans = 1;
    LL base = x;
    while (y != 0) {
        if(y & 1) {
            ans = (ans%Mod) * (base%Mod);
            ans %= Mod;
        }
        base = (base%Mod) * (base%Mod);
        base %= Mod;
        y >>= 1;
    }
    return ans%Mod;
}

int main() {
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld", &a, &b, &k, &n, &m);
    a = a % Mod, b = b % Mod;
    Ans = Qpow(a, n)%Mod * Qpow(b, m)%Mod;
    Ans %= Mod;
    c[1][0] = 1, c[1][1] = 1;
    for(int i=2; i<=k; i++)
        for(int j=0; j<=i; j++)
            c[i][j] = c[i-1][j-1]%Mod+c[i-1][j]%Mod;
    Ans = c[k][n]%Mod * Ans%Mod;
    Ans %= Mod;
    printf("%lld", Ans);
}