BZOJ4916: 神犇和蒟蒻(杜教筛)

Description

很久很久以前，有一只神犇叫yzy;

很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;

Input

请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;

Output

请你输出一个整数$A=sum_{i=1}^N{mu (i^2)}$

请你输出一个整数$B=sum_{i=1}^N{varphi (i^2)}$

Sample Input

1

Sample Output

1
1

解题思路：

第一问考察$mu$的定义所以答案为1。

第二问才是重头戏，主要应用性质$phi(i^2)=iphi(i)$

已知$sum_{i|N}phi(i)=N$

很显然要用杜教筛，这里的g最好用id()

根据杜教筛算法：设f(x)=$xphi(x)$

$S(N)=(f*g)(N)-sum_{i=2}^{N}g(i)*S(left lfloor frac{N}{i} ight floor)$

前面那个就等于$sum_{i=1}^{N}i^2=frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

后面就是$iS(leftlfloorfrac N i ight floor)$

然后就可以愉快的结束了。

代码：

#include<map>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
typedef long long lnt;
const lnt mod=(lnt)(1e9+7);
const int N=4000000;
struct JDr_map{
    std::map<int,lnt>A;
    lnt a[N];
    void Insert(int pos,lnt v)
    {
        if(pos<N)
            a[pos]=v;
        else
            A[pos]=v;
        return ;
    }
    bool hav(int pos)
    {
        if(pos<N)
            return true;
        return A.find(pos)!=A.end();
    }
    lnt val(int pos)
    {
        if(pos<N)
            return a[pos];
        return A[pos];
    }
}s;
int prime[N];
int phi[N];
bool vis[N];
int cnt;
void gtp(void)
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(!vis[i])
        {
            prime[++cnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;j<=cnt&&prime[j]*i<N;j++)
        {
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0)
            {
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
        }
    }
    s.Insert(0,0);
    for(int i=1;i<N;i++)
        s.Insert(i,(s.val(i-1)+1ll*i*phi[i])%mod);
    return ;
}
lnt SLP(int pos)
{
    if(s.hav(pos))
        return s.val(pos);
    lnt tmp=0;
    for(int i=2,j;i<=pos;i=j+1)
    {
        j=pos/(pos/i);
        (tmp+=(1ll*(j-i+1)*(j+i)/2)%mod*SLP(pos/i))%=mod;
    }
    tmp=((1ll*(pos)*(2ll*pos+1)%mod*(pos+1))%mod*166666668ll%mod-tmp)%mod;
    s.Insert(pos,tmp);
    return tmp;
}
int main()
{
    int n;
    gtp();
    scanf("%d",&n);
    printf("%d
%lld
",1,(SLP(n)%mod+mod)%mod);
    return 0;
}