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  • 约瑟夫环问题

    为了讨论方便,先把问题稍微改变一下,并不影响原意:
    问题描述:n个人(编号0~(n-1)),从0开始报数,报到(m-1)的退出,剩下的人继续从0开始报数。求胜利者的编号。

    我们知道第一个人(编号一定是m%n-1) 出列之后,剩下的n-1个人组成了一个新的约瑟夫环(以编号为k=m%n的人开始):
      k  k+1  k+2  ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2并且从k开始报0。
    现在我们把他们的编号做一下转换:

    k     --> 0
    k+1   --> 1
    k+2   --> 2
    ...
    ...
    k-2   --> n-2
    k-1   --> n-1
    变换后就完完全全成为了(n-1)个人报数的子问题,假如我们知道这个子问题的解:例如x是最终的胜利者,那么根据上面这个表把这个x变回去不刚好就是n个人情况的解吗?!!变回去的公式很简单,相信大家都可以推出来:x'=(x+k)%n

    如何知道(n-1)个人报数的问题的解?对,只要知道(n-2)个人的解就行了。(n-2)个人的解呢?当然是先求(n-3)的情况 ---- 这显然就是一个倒推问题!好了,思路出来了,下面写递推公式:

    令f[i]表示i个人玩游戏报m退出最后胜利者的编号,最后的结果自然是f[n]

    递推公式
    f[1]=0;
    f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)

    有了这个公式,我们要做的就是从1-n顺序算出f[i]的数值,最后结果是f[n]。因为实际生活中编号总是从1开始,我们输出f[n]+1
    由于是逐级递推,不需要保存每个f[i],程序也是异常简单

    import java.io.BufferedReader;
    import java.io.InputStreamReader;
    import java.io.StreamTokenizer;
     
    public class onetosevern1356 {
        /*
         * 1356  六一儿童节,圆圈---约瑟夫环
         * 递推公式
               f[1]=0;只有一个人时,胜利者就是编号0,f(n)是编号
               f[i]=(f[i-1]+m)%i;  (i>1)
               这个算法的时间复杂度为O(n),相对于模拟算法已经有了很大的提高
         */
        public static void main(String[] args) throws Exception{
            StreamTokenizer st = new StreamTokenizer(new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in)));
            while (st.nextToken() != StreamTokenizer.TT_EOF) {
                int n = (int) st.nval;
                if (n == 0) {
                    break;
                }
                st.nextToken();
                int m = (int) st.nval;
                int finalChild = 0;
                for (int i = 2; i <= n; i++) {
                    finalChild = (finalChild + m) % i;
                }
                System.out.println(finalChild+1);
            }
        }
    }
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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/bluewelkin/p/3392696.html
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