全错位排列

   问题描述:一个人写了n封不同的信及相应的n个不同的信封，他把这n封信都装错了信封，问都装错信封的装法有多少种？

通项公式:n!(1-1/1!+1/2!-1/3!+...+(-1)^n*1/n!)

递推公式:f(n) = (n - 1)(f(n - 1) + f(n - 2))

   证明:证明递推公式:用完全错排表示信与信封没有一个对应的状态，设n个信封的完全错排情况种数为f(n).

　　　　 现在假设n-1个信封已经完全错排，情况种数f(n - 1).那么将其原有任意的一条联系断开，只能与新增加的

　　　　 信和信封建立唯一的错位联系,这是第一种情况，共(n - 1)f(n - 1)种.还有另外一种情况， 如果原来的

　　　　 n - 1个信和信封并未完全错排，在只有一个对应的情况下，可以打断关系与新增加的信和信封建立唯一的

　　　　 错位联系,只有一个对应的情况是(n - 1)f(n - 2),相当于n - 2个错排加上任一个对应关系的情况.

　　　　 这样，最终:f(n) = (n - 1)(f(n - 1) + f(n - 2)).

　　由完全构造法(不知道？当然，这是我发明的将复杂递推公式转化成通项公式的方法)即可有此推出通项公式.

应用举例:

　　　　　　　　　　　　神、上帝以及老天爷

　　　　Problem Description

　　　　HDU 2006'10 ACM contest的颁奖晚会隆重开始了！
　　　　为了活跃气氛，组织者举行了一个别开生面、奖品丰厚的抽奖活动，这个活动的具体要求是这样的：

　　　　首先，所有参加晚会的人员都将一张写有自己名字的字条放入抽奖箱中；
　　　　然后，待所有字条加入完毕，每人从箱中取一个字条；
　　　　最后，如果取得的字条上写的就是自己的名字，那么“恭喜你，中奖了！”

　　　　大家可以想象一下当时的气氛之热烈，毕竟中奖者的奖品是大家梦寐以求的Twins签名照呀！不过，正如所有试图设计的喜剧往往以悲剧结尾，这次抽奖活动最后竟然没有　　　　　　　　一个人中奖！

　　　　我的神、上帝以及老天爷呀，怎么会这样呢？

　　　　不过，先不要激动，现在问题来了，你能计算一下发生这种情况的概率吗？

　　　　不会算？难道你也想以悲剧结尾？！

 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>
#include <stdio.h>
//对于大数据，使用scanf，对于小数据，使用cin更方便
using namespace std;

int main()
{
    int n, i;
    scanf("%d", &n);
    int f[100] = {0, 0, 1};   //情况发生的个数
    int fac[100] = {0, 1, 2}; //阶乘
    for(i = 3; i < 100; i++){
        fac[i] = fac[i - 1] * i;
        f[i] = (i - 1) * (f[i - 1] + f[i - 2]);
    }
    while(n--)
    {
        scanf("%d", &i);
        if(i > 10)
            i = 10;
        printf("%.2lf%%
", (double)f[i] * 100 / fac[i]);
    }
    
    return 0;
}