岭回归(Ridge Regression)

一、一般线性回归遇到的问题

    在处理复杂的数据的回归问题时，普通的线性回归会遇到一些问题，主要表现在：

• 预测精度：这里要处理好这样一对为题，即样本的数量和特征的数量
  • 时，最小二乘回归会有较小的方差
  • 时，容易产生过拟合
  • 时，最小二乘回归得不到有意义的结果
• 模型的解释能力：如果模型中的特征之间有相互关系，这样会增加模型的复杂程度，并且对整个模型的解释能力并没有提高，这时，我们就要进行特征选择。

以上的这些问题，主要就是表现在模型的方差和偏差问题上，这样的关系可以通过下图说明：

（摘自：机器学习实战）

方差指的是模型之间的差异，而偏差指的是模型预测值和数据之间的差异。我们需要找到方差和偏差的折中。

二、岭回归的概念

    在进行特征选择时，一般有三种方式：

• 子集选择
• 收缩方式(Shrinkage method)，又称为正则化(Regularization)。主要包括岭回归个lasso回归。
• 维数缩减

    岭回归(Ridge Regression)是在平方误差的基础上增加正则项

,

通过确定的值可以使得在方差和偏差之间达到平衡：随着的增大，模型方差减小而偏差增大。

    对求导，结果为

令其为0，可求得的值：

三、实验的过程

    我们去探讨一下取不同的对整个模型的影响。

MATLAB代码

主函数

%% 岭回归(Ridge Regression)

%导入数据
data = load('abalone.txt');
[m,n] = size(data);

dataX = data(:,1:8);%特征
dataY = data(:,9);%标签

%标准化
yMeans = mean(dataY);
for i = 1:m
    yMat(i,:) = dataY(i,:)-yMeans;
end

xMeans = mean(dataX);
xVars = var(dataX);
for i = 1:m
    xMat(i,:) = (dataX(i,:) - xMeans)./xVars;
end

% 运算30次
testNum = 30;
weights = zeros(testNum, n-1);
for i = 1:testNum
    w = ridgeRegression(xMat, yMat, exp(i-10));
    weights(i,:) = w';
end

% 画出随着参数lam
hold on
axis([-9 20 -1.0 2.5]);
xlabel log(lam);
ylabel weights;
for i = 1:n-1
    x = -9:20;
    y(1,:) = weights(:,i)';
    plot(x,y);
end

岭回归求回归系数的函数

function [ w ] = ridgeRegression( x, y, lam )
    xTx = x'*x;
    [m,n] = size(xTx);
    temp = xTx + eye(m,n)*lam;
    if det(temp) == 0
        disp('This matrix is singular, cannot do inverse');
    end
    w = temp^(-1)*x'*y;
end