ZZUOJ 10509: xor运算统计

题目链接：http://acm.zzu.edu.cn:8000/problem.php?id=10509

题目大意：给定n个正整数，a1 a2 ... an，从中选取k个数 , ai1 ai2 ai3 ... Aik,其中（1<=i1<i2<i3<...<ik<=n）,u=ai1 ^ai2 ^ai3 ^... ^Aik,将异或和为u 的序列（i1,i2,...,ik）的个数记为f（u），求∑(f(u)*u) （枚举u从1到正无穷） ,由于数值可能非常大，输出对1000000007 取模后的余数（即结果mod 1000000007）。

解题思路：由于ai < 1e6，所以ai的二进制位最多有20位。对每一位来说，假设这一位有xi个1，那么如果要使这一位为1，只需要从xi中选出来奇数个1（假设有k1个），从n-xi中选出来剩余n-k1个零，而这样子的选择方案共有C(xi,1)C(n-xi, k - 1) + C(xi,3)C(n-xi, k - 3) + …… .现在来考虑这样子如何计算结果，假设现在有四个数1 2 3 7， 对应二进制001,010,011,111，从中选k=3个数，那么所有结果总共有

1^2^3 = 0, 1^2^7 = 4, 1^3^7 = 5, 2^3^7 = 6四个。那么显然答案应当是4+5+6。现在将4 5 6这三个数的二进制展开，得到：

4 = 0x1 + 0x2 + 1x4

5 = 1x1 + 0x2 + 1x4

6 = 0x1 + 2x1 + 1x4

到这儿大概已经能够发现，只需要将每一位可选的方案数目乘以其对应的2的幂，最后求和即是要求的答案。

大致过程：扩展gcd求逆元并记录1~1e6的逆元；对于每个xi，使用组合数递推公式C(n,k) = C(n, k - 1) * (n - k + 1) / k 求xi以及n-xi的组合数值，复杂度O(n)；最后累加求和即是答案。

代码：

const int maxn = 1e5 + 5;
ll c[maxn], c1[maxn], inv[maxn];
int n, k;
int ti[20], a1[maxn];

void ext_gcd(ll a, ll b, ll &d, ll &x, ll &y){
    if(b == 0){
        d = a; x = 1; y = 0;
    }
    else{
        ext_gcd(b, a % b, d, y, x); 
        y -= x * (a / b);
    }
}
int modinv(ll a){
    ll x, y, d;
    ext_gcd(a, -mod, d, x, y);
    if(d < 0) x = -x;
    return (x + mod) % mod;
}
void getinv(){
    for(int i = 2; i <= 1e5; i++)
        inv[i] = modinv(i);
}
void getcom(int x){
    c[0] = c1[0] = 1; c[1] = x; c1[1] = n - x;
    for(int i = 2; i <= x; i++) 
        c[i] = c[i - 1] % mod * (x - i + 1) % mod * inv[i] % mod;
    for(int i = 2; i <= n - x; i++)
        c1[i] = c1[i - 1] % mod * (n - x - i + 1) % mod * inv[i] % mod;
}
void solve(){
    getinv();
    memset(ti, 0, sizeof(ti));
    int mxcnt = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        int x = a1[i], cnt = 0;
        while(x){
            ti[cnt++] += (x & 1);
            x >>= 1;
        }
        mxcnt = max(mxcnt, cnt);
    }
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i <= mxcnt; i++){
        int x = ti[i], tm = 1 << i;
        getcom(x);
        for(int i = 1; i <= k; i += 2){
            if(k - i > n - x || i > x) continue;
            ans = ans + c[i] % mod * c1[k - i] % mod * tm % mod;
            ans %= mod;
        }
    }
    printf("%lld
", ans);
}
int main(){
    scanf("%d %d", &n, &k);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d", &a1[i]);
    solve();
}

题目：

10509: xor运算统计

Time Limit: 5 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 26  Solved: 5
[Submit][Status][Web Board]

Description

给定n个正整数，a1 a2 ... an，从中选取k个数 , ai1 ai2 ai3 ... Aik,其中（1<=i1<i2<i3<...<ik<=n）,u=ai1 ^ai2 ^ai3 ^... ^Aik,将异或和为u 的序列（i1,i2,...,ik）的个数记为f（u），求∑(f(u)*u) （枚举u从1到正无穷） ,由于数值可能非常大，输出对1000000007 取模后的余数（即结果mod 1000000007）。

Input

第一行两个整数n和k (1<=n,k<=10^5)

第二行n个整数，表示a1 a2 ... An. (0<=ai<=10^6)

Output

输出一行一个整数,表示最后的答案.

Sample Input

4 2
1 1 2 3

Sample Output

11

HINT

 

Source

JXD