CS Academy Dominant Free Sets

题目链接：https://csacademy.com/contest/archive/task/dominant-free-sets/statement/

题目大意：给一个包含N个点的集合，集合中的点各不相同。对于点A,B，如果B.X >= A.X 并且 B.Y >= A.Y，那么认为B优于A。问不存在两个点A,B使得A优于B的集合共多少个。结果对1e9+7取余。10^51≤x​i​​,y​i, n​​≤10^​5

解题思路：对于A,B两个点来说，假设A.X < B.X, 那么如果B不优于A，则必有B.Y < A.Y。所以可以将所有点按照X,Y从小到大排序，得到一个O(N^2)的递推关系：num[a[i]] = Σnum[a[j]]　　1 <= j < i  && a[j].x < a[i].x && a[j].y > a[i].y

但是仔细考虑一下，每个点的横纵坐标都是1e5之内，而且每次需要找的是已经访问过的点里面x小于当前x，y大于当前y的点的值。那么显然可以记录y坐标的值，利用前缀和即可判断已经出现了多少y大于当前y。而对于x来说，由于统计的是之前大于y的数量，因此只要按照x，y从小到大访问，那么就不会出现将x相同的统计进去。

需要注意的是，在取余的时候相减可能出现负数，而这个时候应当将结果加上mod然后再取余。

代码：

const int maxn = 1e5 + 10;
typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
int n;
int px[maxn], py[maxn], f[maxn];
ll bit[maxn];

int lowbit(int x){
    return x & (-x);
}
void add(int x, ll v){
    while(x <= 1e5){
        bit[x] = bit[x] % mod + v % mod;
        bit[x] %= mod;
        x += lowbit(x);
    }
}
ll sum(int x){
    ll ans = 0;
    while(x > 0){
        ans = ans % mod + bit[x] % mod;
        ans %= mod;
        x -= lowbit(x);
    }
    return ans % mod;
}
bool cmp(int i, int j){
    if(px[i] != px[j]) return px[i] < px[j];
    return py[i] < py[j];
}
void solve(){
    for(int i = 0; i <= 1e5; i++) f[i] = i;
    sort(f + 1, f + n + 1, cmp);
    memset(bit, 0, sizeof(bit));
    for(int ii = 1; ii <= n; ii++){
        int i = f[ii];
        ll tmp = (sum(1e5) - sum(py[i]) + mod) % mod + 1;
        tmp %= mod;
        add(py[i], tmp);
    }
    ll ans = sum(1e5) % mod;
    printf("%I64d
", ans);
}
int main(){
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        scanf("%d %d", &px[i], &py[i]);
    solve();
    return 0;
}

题目：

Dominant Free Sets

Time limit: 1000 ms
Memory limit: 256 MB

 

You are given a set SS of NN points. A point AA dominates point BB if A_x geq B_xA​x​​≥B​x​​ and A_y geq B_yA​y​​≥B​y​​. Count the number of non-empty subsets of SS that don't contain two points AA and BB such that AA dominates BB.

Standard input

The first line contains a single integer NN.

Each of the next NN lines contains two integers xx and yy, representing a point at coordinates (x, y)(x,y).

Standard output

Print the answer modulo 10^9+710​9​​+7 on the first line.

Constraints and notes

• 1 leq N leq 10^51≤N≤10​5​​ 
• 1 leq x_i, y_i leq 10^51≤x​i​​,y​i​​≤10​5​​ 
• The NN points are distinct

Input	Output	Explanation
4 1 1 2 2 3 3 4 4	4	The only valid sets are the ones with exactly one point.
3 2 1 1 1 1 2	4	The sets are {(1, 1)}{(1,1)}, {(1, 2)}{(1,2)}, {(2, 1)}{(2,1)} and {(1, 2), (2, 1)}{(1,2),(2,1)}